Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2 23475
 Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
mbfmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
mbfmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
31, 2mbfdm2 23450 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54recld 13978 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
76recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
81, 2mbfmptcl 23449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98recld 13978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
109recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
117, 10mulcld 10098 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
12 ovexd 6720 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
13 fconstmpt 5197 . . . . . . 7 (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
15 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
163, 6, 9, 14, 15offval2 6956 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
174imcld 13979 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
1817renegcld 10495 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
208imcld 13979 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
21 fconstmpt 5197 . . . . . . 7 (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
23 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
243, 19, 20, 22, 23offval2 6956 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
253, 11, 12, 16, 24offval2 6956 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
2617adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
2726recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
2820recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
2927, 28mulcld 10098 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
3011, 29negsubd 10436 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
3127, 28mulneg1d 10521 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
3231oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
334adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433, 8remuld 14002 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
3530, 32, 343eqtr4d 2695 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
3635mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
3725, 36eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
388ismbfcn2 23451 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
391, 38mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
4039simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
41 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))
4210, 41fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4340, 5, 42mbfmulc2re 23460 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4439simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
45 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))
4628, 45fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4744, 18, 46mbfmulc2re 23460 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4843, 47mbfadd 23473 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
4937, 48eqeltrrd 2731 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
50 ovexd 6720 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
51 ovexd 6720 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
523, 6, 20, 14, 23offval2 6956 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
53 fconstmpt 5197 . . . . . . 7 (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
553, 26, 9, 54, 15offval2 6956 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
563, 50, 51, 52, 55offval2 6956 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
5733, 8immuld 14003 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
5857mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
5956, 58eqtr4d 2688 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
6044, 5, 46mbfmulc2re 23460 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
6140, 17, 42mbfmulc2re 23460 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
6260, 61mbfadd 23473 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
6359, 62eqeltrrd 2731 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
6433, 8mulcld 10098 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
6564ismbfcn2 23451 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
6649, 63, 65mpbir2and 977 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  ℂcc 9972  ℝcr 9973   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  -cneg 10305  ℜcre 13881  ℑcim 13882  volcvol 23278  MblFncmbf 23428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433 This theorem is referenced by:  iblmulc2  23642
 Copyright terms: Public domain W3C validator