Theorem mbfmulc2lem 24250

Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2re.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2lem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2lem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 10624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		mbfmulc2re.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		fconst6g 6570	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
6		mbfmulc2lem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
7	6	fdmd 6525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
8		mbfmulc2re.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
9		mbfdm 24229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11	7, 10	eqeltrrd 2916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
12		inidm 4197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
13	2, 5, 6, 11, 11, 12	off 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
14	13	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
15	11	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
16		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 10693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
18		elioopnf 12834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
20	13	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
21	20	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
22	21	biantrurd 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
23	6	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
24	23	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
25	24	biantrurd 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
26		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
27	11	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
28	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
30	29	ffnd 6517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴)
31		eqidd 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
32	27, 28, 30, 31	ofc1 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
33	26, 32	mpdan 685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
34	33	breq2d 5080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
35	33, 21	eqeltrrd 2916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
36	16, 35	ltnegd 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ↔ -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦))
37	28	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	24	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
39	37, 38	mulneg1d 11095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) = -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
40	39	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦))
41	16	renegcld 11069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → -𝑦 ∈ ℝ)
42	28	renegcld 11069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ)
43		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 < 0)
44	28	lt0neg1d 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
45	43, 44	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 0 < -𝐵)
46		ltmuldiv2 11516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
47	24, 41, 42, 45, 46	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
48	36, 40, 47	3bitr2rd 310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
49	16	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℂ)
50	43	lt0ne0d 11207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
51	49, 37, 50	div2negd 11433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝑦 / -𝐵) = (𝑦 / 𝐵))
52	51	breq2d 5080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
53	34, 48, 52	3bitr2d 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
54	16, 28, 50	redivcld 11470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
55	54	rexrd 10693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
56		elioomnf 12835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
58	25, 53, 57	3bitr4d 313	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
59	19, 22, 58	3bitr2d 309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
60	59	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
61	60	pm5.32da 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
62	13	ffnd 6517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴)
63	62	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴)
64		elpreima 6830	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
66	6	ffnd 6517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
67	66	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
68		elpreima 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
70	61, 65, 69	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
71	70	eqrdv 2821	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
72		mbfima 24233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
73	8, 6, 72	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
74	73	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
75	71, 74	eqeltrd 2915	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
76		elioomnf 12835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
77	17, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
78	21	biantrurd 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
79	24	biantrurd 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
80	33	breq1d 5078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦))
81	39	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
82	51	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))
83		ltdivmul 11517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
84	41, 24, 42, 45, 83	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
85	82, 84	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
86	35, 16	ltnegd 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
87	81, 85, 86	3bitr4d 313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦))
88	80, 87	bitr4d 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))
89		elioopnf 12834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
90	55, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
91	79, 88, 90	3bitr4d 313	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
92	77, 78, 91	3bitr2d 309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
93	92	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
94	93	pm5.32da 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
95		elpreima 6830	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
96	63, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
97		elpreima 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
98	67, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
99	94, 96, 98	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
100	99	eqrdv 2821	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
101		mbfima 24233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
102	8, 6, 101	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
103	102	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
104	100, 103	eqeltrd 2915	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
105	14, 15, 75, 104	ismbf2d 24243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
106	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
107	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
108		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
109		0cn 10635	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
110	108, 109	eqeltrdi 2923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
111		0cnd 10636	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℂ)
112		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = 0)
113	112	oveq1d 7173	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
114		mul02lem2 10819	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
115	114	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
116	113, 115	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = 0)
117	106, 107, 110, 111, 116	caofid2 7442	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) = (𝐴 × {0}))
118		mbfconst 24236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
119	106, 109, 118	sylancl 588	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
120	117, 119	eqeltrd 2915	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
121	13	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
122	11	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
123		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
124	123	rexrd 10693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
125	124, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
126	20	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
127	126	biantrurd 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
128	23	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
129	128	biantrurd 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
130		eqidd 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
131	11, 3, 66, 130	ofc1 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
132	131	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
133	132	breq2d 5080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
134	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
135		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 0 < 𝐵)
136		ltdivmul 11517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
137	123, 128, 134, 135, 136	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
138	133, 137	bitr4d 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))
139	134, 135	elrpd 12431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
140	123, 139	rerpdivcld 12465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
141	140	rexrd 10693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
142	141, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
143	129, 138, 142	3bitr4d 313	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
144	125, 127, 143	3bitr2d 309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
145	144	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
146	145	pm5.32da 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
147	62	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴)
148	147, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
149	66	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
150	149, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
151	146, 148, 150	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
152	151	eqrdv 2821	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
153	102	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
154	152, 153	eqeltrd 2915	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
155	124, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
156	126	biantrurd 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
157		ltmuldiv2 11516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
158	128, 123, 134, 135, 157	syl112anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
159	132	breq1d 5078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦))
160	141, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
161	128, 160	mpbirand 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
162	158, 159, 161	3bitr4d 313	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
163	155, 156, 162	3bitr2d 309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
164	163	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
165	164	pm5.32da 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
166	147, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
167	149, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
168	165, 166, 167	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
169	168	eqrdv 2821	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
170	73	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
171	169, 170	eqeltrd 2915	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
172	121, 122, 154, 171	ismbf2d 24243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
173		0re 10645	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
174		lttri4 10727	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
175	3, 173, 174	sylancl 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
176	105, 120, 172, 175	mpjao3dan 1427	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4569   class class class wbr 5068   × cxp 5555  ^◡ccnv 5556  dom cdm 5557   “ cima 5560   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539   · cmul 10544  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  -cneg 10873   / cdiv 11299  (,)cioo 12741  volcvol 24066  MblFncmbf 24217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-xmet 20540  df-met 20541  df-ovol 24067  df-vol 24068  df-mbf 24222

This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  24251