MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem2 23397
Description: Lemma for mbfmul 23399. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
mbfmul.7 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
mbfmullem2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.3 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 ffn 6002 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
4 mbfmul.4 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
5 ffn 6002 . . . 4 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
7 fdm 6008 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
9 mbfmul.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
10 mbfdm 23301 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
128, 11eqeltrrd 2699 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
13 inidm 3800 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
14 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
15 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
163, 6, 12, 12, 13, 14, 15offval 6857 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
17 nnuz 11667 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
18 1zzd 11352 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
19 1zzd 11352 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℤ)
20 mbfmul.6 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
21 nnex 10970 . . . . . 6 ℕ ∈ V
2221mptex 6440 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
24 mbfmul.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
25 mbfmul.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
2625ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) ∈ dom ∫1)
27 i1ff 23349 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2928adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
30 mblss 23206 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3112, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3231sselda 3583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3429, 33ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
3534recnd 10012 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
36 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))
3735, 36fmptd 6340 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
3837ffvelrnda 6315 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
39 mbfmul.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
4039ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) ∈ dom ∫1)
41 i1ff 23349 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
4342adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
4443, 33ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
4544recnd 10012 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
46 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))
4745, 46fmptd 6340 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
4847ffvelrnda 6315 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
49 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
5049fveq1d 6150 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
51 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝑘))
5251fveq1d 6150 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
5350, 52oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
54 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))
55 ovex 6632 . . . . . . 7 (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6239 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
5756adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
58 fvex 6158 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑘)‘𝑥) ∈ V
5950, 36, 58fvmpt 6239 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
60 fvex 6158 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑘)‘𝑥) ∈ V
6152, 46, 60fvmpt 6239 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
6259, 61oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6362adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6457, 63eqtr4d 2658 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
6517, 19, 20, 23, 24, 38, 48, 64climmul 14297 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
6631adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6766resmptd 5411 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
68 ffn 6002 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑛) Fn ℝ)
6928, 68syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) Fn ℝ)
70 ffn 6002 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ → (𝑄𝑛) Fn ℝ)
7142, 70syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) Fn ℝ)
72 reex 9971 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
74 inidm 3800 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
75 eqidd 2622 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑥))
76 eqidd 2622 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑛)‘𝑥))
7769, 71, 73, 73, 74, 75, 76offval 6857 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
7826, 40i1fmul 23369 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1)
79 i1fmbf 23348 . . . . . . 7 (((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
8177, 80eqeltrrd 2699 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
8212adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
83 mbfres 23317 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
8481, 82, 83syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
8567, 84eqeltrrd 2699 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
86 ovex 6632 . . . 4 (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V
8786a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐴)) → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
8817, 18, 65, 85, 87mbflim 23341 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
8916, 88eqeltrd 2698 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cc 9878  cr 9879  1c1 9881   · cmul 9885  cn 10964  cli 14149  volcvol 23139  MblFncmbf 23289  1citg1 23290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-xmet 19658  df-met 19659  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295
This theorem is referenced by:  mbfmullem  23398
  Copyright terms: Public domain W3C validator