Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfneg 23323
 Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfneg.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
mbfneg.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfneg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfneg
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
2 mbfneg.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
31, 2dmmptd 5981 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
4 mbfneg.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
5 dmexg 7044 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
73, 6eqeltrrd 2699 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
8 neg1rr 11069 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -1 ∈ ℝ)
10 fconstmpt 5123 . . . . 5 (𝐴 × {-1}) = (𝑥𝐴 ↦ -1)
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × {-1}) = (𝑥𝐴 ↦ -1))
12 eqidd 2622 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
137, 9, 2, 11, 12offval2 6867 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)))
144, 2mbfmptcl 23310 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1514mulm1d 10426 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
1615mpteq2dva 4704 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵))
1713, 16eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵))
188a1i 11 . . 3 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
1914, 1fmptd 6340 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
204, 18, 19mbfmulc2re 23321 . 2 (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)
2117, 20eqeltrrd 2699 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  {csn 4148   ↦ cmpt 4673   × cxp 5072  dom cdm 5074  (class class class)co 6604   ∘𝑓 cof 6848  ℂcc 9878  ℝcr 9879  1c1 9881   · cmul 9885  -cneg 10211  MblFncmbf 23289 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-xmet 19658  df-met 19659  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294 This theorem is referenced by:  mbfposb  23326  mbfsub  23335  mbfinf  23338  mbfi1flimlem  23395  itgreval  23469  ibladd  23493  iblabslem  23500  ibladdnc  33096  itgaddnclem2  33098  itgmulc2nclem2  33106  ftc1anclem6  33119
 Copyright terms: Public domain W3C validator