MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfpos 23319
Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfpos.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfpos (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9979 . . . . . . 7 0 ∈ V
21fvconst2 6424 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
32adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
4 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
5 mbfpos.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
76fvmpt2 6249 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
84, 5, 7syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
93, 8breq12d 4631 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐵))
109, 8, 3ifbieq12d 4090 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
1110mpteq2dva 4709 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)))
12 0re 9985 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6054 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ)
15 mbfpos.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
1615, 5mbfdm2 23306 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
17 0cnd 9978 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
18 mbfconst 23303 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
1916, 17, 18syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
205, 6fmptd 6341 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
21 nfcv 2767 . . . 4 𝑦if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))
22 nfcv 2767 . . . . . 6 𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦)
23 nfcv 2767 . . . . . 6 𝑥
24 nffvmpt1 6158 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
2522, 23, 24nfbr 4664 . . . . 5 𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
2625, 24, 22nfif 4092 . . . 4 𝑥if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦))
27 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑦))
28 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
2927, 28breq12d 4631 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)))
3029, 28, 27ifbieq12d 4090 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
3121, 26, 30cbvmpt 4714 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑦𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
3214, 19, 20, 15, 31mbfmax 23317 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) ∈ MblFn)
3311, 32eqeltrrd 2705 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  ifcif 4063  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  dom cdm 5079  wf 5846  cfv 5850  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  cle 10020  volcvol 23134  MblFncmbf 23284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-xmet 19653  df-met 19654  df-ovol 23135  df-vol 23136  df-mbf 23289
This theorem is referenced by:  mbfposb  23321  mbfi1flimlem  23390  itgreval  23464  ibladdlem  23487  iblabslem  23495  mbfposadd  33075  ibladdnclem  33084  iblabsnclem  33091  itgmulc2nclem2  33095
  Copyright terms: Public domain W3C validator