MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres 23162
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 13649 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
3 ismbf1 23144 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
43simplbi 474 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
54adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6 pmresg 7749 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → (𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
72, 5, 6syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
8 cnex 9874 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
9 elpm2g 7738 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴)))
108, 2, 9sylancr 693 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴)))
117, 10mpbid 220 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴))
1211simpld 473 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ)
13 fco 5957 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
141, 12, 13sylancr 693 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
15 dmres 5326 . . . 4 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
17 mbfdm 23146 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18 inmbl 23062 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
1916, 17, 18syl2anr 493 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
2015, 19syl5eqel 2691 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → dom (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
21 resco 5542 . . . . . . . 8 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹𝐴))
2221cnveqi 5207 . . . . . . 7 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹𝐴))
2322imaeq1i 5369 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
24 cnvresima 5527 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
2523, 24eqtr3i 2633 . . . . 5 ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26 mbff 23145 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
27 ismbfcn 23149 . . . . . . . . . 10 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2928ibi 254 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
3029simpld 473 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31 fco 5957 . . . . . . . 8 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
321, 26, 31sylancr 693 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
33 mbfima 23150 . . . . . . 7 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 690 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
35 inmbl 23062 . . . . . 6 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3634, 35sylan 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3725, 36syl5eqel 2691 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3837adantr 479 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3922imaeq1i 5369 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
40 cnvresima 5527 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
4139, 40eqtr3i 2633 . . . . 5 ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
42 mbfima 23150 . . . . . . 7 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4330, 32, 42syl2anc 690 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
44 inmbl 23062 . . . . . 6 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4543, 44sylan 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4641, 45syl5eqel 2691 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4746adantr 479 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4814, 20, 38, 47ismbf2d 23159 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)
49 imf 13650 . . . 4 ℑ:ℂ⟶ℝ
50 fco 5957 . . . 4 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
5149, 12, 50sylancr 693 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
52 resco 5542 . . . . . . . 8 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹𝐴))
5352cnveqi 5207 . . . . . . 7 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹𝐴))
5453imaeq1i 5369 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
55 cnvresima 5527 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5654, 55eqtr3i 2633 . . . . 5 ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5729simprd 477 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58 fco 5957 . . . . . . . 8 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5949, 26, 58sylancr 693 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
60 mbfima 23150 . . . . . . 7 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 690 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
62 inmbl 23062 . . . . . 6 ((((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6361, 62sylan 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6456, 63syl5eqel 2691 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6564adantr 479 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6653imaeq1i 5369 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
67 cnvresima 5527 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2633 . . . . 5 ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
69 mbfima 23150 . . . . . . 7 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7057, 59, 69syl2anc 690 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
71 inmbl 23062 . . . . . 6 ((((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7270, 71sylan 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7368, 72syl5eqel 2691 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7473adantr 479 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7551, 20, 65, 74ismbf2d 23159 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)
76 ismbfcn 23149 . . 3 ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ → ((𝐹𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)))
7712, 76syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)))
7848, 75, 77mpbir2and 958 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539  ccnv 5027  dom cdm 5028  ran crn 5029  cres 5030  cima 5031  ccom 5032  wf 5786  (class class class)co 6527  pm cpm 7723  cc 9791  cr 9792  +∞cpnf 9928  -∞cmnf 9929  (,)cioo 12005  cre 13634  cim 13635  volcvol 22984  MblFncmbf 23134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xadd 11782  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-xmet 19509  df-met 19510  df-ovol 22985  df-vol 22986  df-mbf 23139
This theorem is referenced by:  mbfadd  23179  mbfsub  23180  mbfmullem2  23242  mbfmul  23244  itg2cnlem1  23279  iblss  23322  mbfposadd  32451  ftc1cnnclem  32477  ftc1anclem8  32486
  Copyright terms: Public domain W3C validator