Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres 23456
 Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 13896 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
3 ismbf1 23438 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
43simplbi 475 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6 pmresg 7927 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → (𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
72, 5, 6syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴))
8 cnex 10055 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
9 elpm2g 7916 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴)))
108, 2, 9sylancr 696 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴)))
117, 10mpbid 222 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴))
1211simpld 474 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ)
13 fco 6096 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
141, 12, 13sylancr 696 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
15 dmres 5454 . . . 4 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
17 mbfdm 23440 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18 inmbl 23356 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ dom 𝐹 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
1916, 17, 18syl2anr 494 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ dom 𝐹) ∈ dom vol)
2015, 19syl5eqel 2734 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → dom (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
21 resco 5677 . . . . . . . 8 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹𝐴))
2221cnveqi 5329 . . . . . . 7 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℜ ∘ (𝐹𝐴))
2322imaeq1i 5498 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
24 cnvresima 5661 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
2523, 24eqtr3i 2675 . . . . 5 ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
26 mbff 23439 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
27 ismbfcn 23443 . . . . . . . . . 10 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
2928ibi 256 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
3029simpld 474 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
31 fco 6096 . . . . . . . 8 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
321, 26, 31sylancr 696 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
33 mbfima 23444 . . . . . . 7 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3430, 32, 33syl2anc 694 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
35 inmbl 23356 . . . . . 6 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3634, 35sylan 487 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
3725, 36syl5eqel 2734 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3837adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
3922imaeq1i 5498 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
40 cnvresima 5661 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
4139, 40eqtr3i 2675 . . . . 5 ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
42 mbfima 23444 . . . . . . 7 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4330, 32, 42syl2anc 694 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
44 inmbl 23356 . . . . . 6 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4543, 44sylan 487 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
4641, 45syl5eqel 2734 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4746adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
4814, 20, 38, 47ismbf2d 23453 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)
49 imf 13897 . . . 4 ℑ:ℂ⟶ℝ
50 fco 6096 . . . 4 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
5149, 12, 50sylancr 696 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)):dom (𝐹𝐴)⟶ℝ)
52 resco 5677 . . . . . . . 8 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹𝐴))
5352cnveqi 5329 . . . . . . 7 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (ℑ ∘ (𝐹𝐴))
5453imaeq1i 5498 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞))
55 cnvresima 5661 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5654, 55eqtr3i 2675 . . . . 5 ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴)
5729simprd 478 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
58 fco 6096 . . . . . . . 8 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5949, 26, 58sylancr 696 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
60 mbfima 23444 . . . . . . 7 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 694 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
62 inmbl 23356 . . . . . 6 ((((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6361, 62sylan 487 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
6456, 63syl5eqel 2734 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6564adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
6653imaeq1i 5498 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥))
67 cnvresima 5661 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2675 . . . . 5 ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) = (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴)
69 mbfima 23444 . . . . . . 7 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7057, 59, 69syl2anc 694 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
71 inmbl 23356 . . . . . 6 ((((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7270, 71sylan 487 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℑ ∘ 𝐹) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
7368, 72syl5eqel 2734 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7473adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℑ ∘ (𝐹𝐴)) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
7551, 20, 65, 74ismbf2d 23453 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)
76 ismbfcn 23443 . . 3 ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ → ((𝐹𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)))
7712, 76syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝐴) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐴)) ∈ MblFn)))
7848, 75, 77mpbir2and 977 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝐴) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   “ cima 5146   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  (class class class)co 6690   ↑pm cpm 7900  ℂcc 9972  ℝcr 9973  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  (,)cioo 12213  ℜcre 13881  ℑcim 13882  volcvol 23278  MblFncmbf 23428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433 This theorem is referenced by:  mbfadd  23473  mbfsub  23474  mbfmullem2  23536  mbfmul  23538  itg2cnlem1  23573  iblss  23616  mbfposadd  33587  ftc1cnnclem  33613  ftc1anclem8  33622
 Copyright terms: Public domain W3C validator