Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres2 23318
 Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfres2.2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2.3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2.4 (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfres2.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
21reseq2d 5356 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹𝐴))
3 mbfres2.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4 ffn 6002 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
5 fnresdm 5958 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
72, 6eqtr2d 2656 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
9 resundi 5369 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)) = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶))
108, 9syl6eq 2671 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)))
1110cnveqd 5258 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)))
12 cnvun 5497 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)) = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶))
1311, 12syl6eq 2671 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 = ((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)))
1413imaeq1d 5424 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑥) = (((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)) “ 𝑥))
15 imaundir 5505 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∪ (𝐹𝐶)) “ 𝑥) = (((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∪ ((𝐹𝐶) “ 𝑥))
1614, 15syl6eq 2671 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑥) = (((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∪ ((𝐹𝐶) “ 𝑥)))
17 mbfres2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
18 ssun1 3754 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐵𝐶)
1918, 1syl5sseq 3632 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐴)
203, 19fssresd 6028 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℝ)
21 ismbf 23303 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵):𝐵⟶ℝ → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2317, 22mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
2423r19.21bi 2927 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → ((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol)
25 mbfres2.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
26 ssun2 3755 . . . . . . . . . 10 𝐶 ⊆ (𝐵𝐶)
2726, 1syl5sseq 3632 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
283, 27fssresd 6028 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
29 ismbf 23303 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol))
3125, 30mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
3231r19.21bi 2927 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → ((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol)
33 unmbl 23212 . . . . 5 ((((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((𝐹𝐶) “ 𝑥) ∈ dom vol) → (((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∪ ((𝐹𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
3424, 32, 33syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → (((𝐹𝐵) “ 𝑥) ∪ ((𝐹𝐶) “ 𝑥)) ∈ dom vol)
3516, 34eqeltrd 2698 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑥) ∈ dom vol)
3635ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)
37 ismbf 23303 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
383, 37syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
3936, 38mpbird 247 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ∪ cun 3553  ◡ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075   ↾ cres 5076   “ cima 5077   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ℝcr 9879  (,)cioo 12117  volcvol 23139  MblFncmbf 23289 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-xmet 19658  df-met 19659  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294 This theorem is referenced by:  mbfss  23319  mbfresfi  33088  mbfposadd  33089  mbfres2cn  39481
 Copyright terms: Public domain W3C validator