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Theorem mbfresfi 33088
Description: Measurability of a piecewise function across arbitrarily many subsets. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfresfi.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfresfi.2 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
mbfresfi.3 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn)
mbfresfi.4 (𝜑 𝑆 = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfresfi (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝑆,𝑠

Proof of Theorem mbfresfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfresfi.1 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 mbfresfi.3 . 2 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn)
3 mbfresfi.4 . . 3 (𝜑 𝑆 = 𝐴)
4 mbfresfi.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
5 uniexg 6908 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ∈ V)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 𝑆 ∈ V)
73, 6eqeltrrd 2699 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
8 fex 6444 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
98ex 450 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ V → 𝐹 ∈ V))
117, 10jcai 558 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V))
12 feq2 5984 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑓:𝐴⟶ℂ))
1312anbi1d 740 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
14 eqeq2 2632 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → ( 𝑆 = 𝑎 𝑆 = 𝐴))
1513, 14anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴)))
1615imbi1d 331 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)))
1716imbi2d 330 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn))))
18 feq1 5983 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
19 reseq1 5350 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑠) = (𝐹𝑠))
2019eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝐹𝑠) ∈ MblFn))
2120ralbidv 2980 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn))
2218, 21anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn)))
2322anbi1d 740 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴)))
24 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
2523, 24imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
2625imbi2d 330 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝜑 → (((𝑓:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝑓 ∈ MblFn)) ↔ (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))))
27 rzal 4045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = ∅ → ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)
2827biantrud 528 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = ∅ → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
2928bicomd 213 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = ∅ → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ 𝑓:𝑎⟶ℂ))
30 unieq 4410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = ∅ → 𝑟 = ∅)
31 uni0 4431 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
3230, 31syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = ∅ → 𝑟 = ∅)
3332eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = ∅ → ( 𝑟 = 𝑎 ↔ ∅ = 𝑎))
3429, 33anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑟 = ∅ → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎)))
3534imbi1d 331 . . . . . . . 8 (𝑟 = ∅ → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
36352albidv 1848 . . . . . . 7 (𝑟 = ∅ → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
37 raleq 3127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn))
3837anbi2d 739 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑡 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
39 unieq 4410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑡 𝑟 = 𝑡)
4039eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑡 → ( 𝑟 = 𝑎 𝑡 = 𝑎))
4138, 40anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑡 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎)))
4241imbi1d 331 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑡 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
43422albidv 1848 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
44 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → 𝑓 = 𝑔)
45 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
4644, 45feq12d 5990 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (𝑓:𝑎⟶ℂ ↔ 𝑔:𝑏⟶ℂ))
47 reseq1 5350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑠) = (𝑔𝑠))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (𝑓𝑠) = (𝑔𝑠))
4948eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → ((𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑔𝑠) ∈ MblFn))
5049ralbidv 2980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn))
5146, 50anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn)))
52 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → ( 𝑡 = 𝑎 𝑡 = 𝑏))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → ( 𝑡 = 𝑎 𝑡 = 𝑏))
5451, 53anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏)))
55 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
5655adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝑔 ∈ MblFn))
5754, 56imbi12d 334 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑔𝑎 = 𝑏) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
5857cbval2v 2284 . . . . . . . 8 (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn))
5943, 58syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑡 → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn)))
60 raleq 3127 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → (∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn))
6160anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
62 unieq 4410 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → 𝑟 = (𝑡 ∪ {}))
6362eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → ( 𝑟 = 𝑎 (𝑡 ∪ {}) = 𝑎))
6461, 63anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)))
6564imbi1d 331 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
66652albidv 1848 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑡 ∪ {}) → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
67 raleq 3127 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn))
6867anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ↔ (𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn)))
69 unieq 4410 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 𝑟 = 𝑆)
7069eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → ( 𝑟 = 𝑎 𝑆 = 𝑎))
7168, 70anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑆 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) ↔ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎)))
7271imbi1d 331 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑆 → ((((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
73722albidv 1848 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑆 → (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑟 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) ↔ ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
74 frel 6007 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝑎⟶ℂ → Rel 𝑓)
7574adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → Rel 𝑓)
76 fdm 6008 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝑎⟶ℂ → dom 𝑓 = 𝑎)
77 eqcom 2628 . . . . . . . . . . 11 (∅ = 𝑎𝑎 = ∅)
7877biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (∅ = 𝑎𝑎 = ∅)
7976, 78sylan9eq 2675 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → dom 𝑓 = ∅)
80 reldm0 5303 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝑓 → (𝑓 = ∅ ↔ dom 𝑓 = ∅))
8180biimpar 502 . . . . . . . . . 10 ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 = ∅)
82 0mbf 33087 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ MblFn
8381, 82syl6eqel 2706 . . . . . . . . 9 ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = ∅) → 𝑓 ∈ MblFn)
8475, 79, 83syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
8584gen2 1720 . . . . . . 7 𝑓𝑎((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∅ = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)
86 ref 13786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℜ:ℂ⟶ℝ
87 fco 6015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
8886, 87mpan 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
9089ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
91 recncf 22613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
9291elexi 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℜ ∈ V
93 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
9492, 93coex 7065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℜ ∘ 𝑓) ∈ V
9594resex 5402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ V
96 vuniex 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ V
97 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑡 𝑡 = 𝑏)
9897biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑡 𝑡 = 𝑏)
9998adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → 𝑡 = 𝑏)
10099biantrud 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏)))
101 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ = ℂ
102 feq123 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ))
103101, 102mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ))
104 reseq1 5350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → (𝑔𝑠) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠))
105104eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → ((𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
107106ralbidv 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
108103, 107anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
109100, 108bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
110 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
112109, 111imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)))
113112spc2gv 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ V ∧ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)))
11495, 96, 113mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
115 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℂ
116 fss 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
11786, 115, 116mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℜ:ℂ⟶ℂ
118 fco 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℜ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
119117, 118mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
120 ssun1 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {})
121120unissi 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 (𝑡 ∪ {})
122 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( (𝑡 ∪ {}) = 𝑎 (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)
123121, 122syl5sseq 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( (𝑡 ∪ {}) = 𝑎 𝑡𝑎)
124 fssres 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℜ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ 𝑡𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
125119, 123, 124syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
126125adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
127 elssuni 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟𝑡𝑟 𝑡)
128127resabs1d 5387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
129 resco 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓𝑟))
130128, 129syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟𝑡 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓𝑟)))
131130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℜ ∘ (𝑓𝑟)))
132 elun1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟𝑡𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {}))
133 reseq2 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = 𝑟 → (𝑓𝑠) = (𝑓𝑟))
134133eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓𝑟) ∈ MblFn))
135134rspccva 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟 ∈ (𝑡 ∪ {})) → (𝑓𝑟) ∈ MblFn)
136132, 135sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn ∧ 𝑟𝑡) → (𝑓𝑟) ∈ MblFn)
137136adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (𝑓𝑟) ∈ MblFn)
138 fresin 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓𝑟):(𝑎𝑟)⟶ℂ)
139 ismbfcn 23304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓𝑟):(𝑎𝑟)⟶ℂ → ((𝑓𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓𝑟) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)))
141140biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)))
142141ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → ((𝑓𝑟) ∈ MblFn → ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)))
143137, 142mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → ((ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn))
144143simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (ℜ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)
145131, 144eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
146145ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
147 reseq2 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑠 → (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠))
148147eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑠 → ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
149148cbvralv 3159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑟𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
150146, 149sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
151150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
152 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
153126, 151, 152syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → (((((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
154114, 153mpan9 486 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)
155 vsnid 4180 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∈ {}
156 elun2 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ {} → ∈ (𝑡 ∪ {}))
157 reseq2 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = → (𝑓𝑠) = (𝑓))
158157eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = → ((𝑓𝑠) ∈ MblFn ↔ (𝑓) ∈ MblFn))
159158rspcv 3291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ (𝑡 ∪ {}) → (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn → (𝑓) ∈ MblFn))
160155, 156, 159mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn → (𝑓) ∈ MblFn)
161 resco 5598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ) = (ℜ ∘ (𝑓))
162 fresin 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓):(𝑎)⟶ℂ)
163 ismbfcn 23304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓):(𝑎)⟶ℂ → ((𝑓) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn)))
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑎⟶ℂ → ((𝑓) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn)))
165164simprbda 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓) ∈ MblFn) → (ℜ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn)
166161, 165syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
167160, 166sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
168167ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ((ℜ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
169 uniun 4422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∪ {}) = ( 𝑡 {})
170 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ∈ V
171170unisn 4417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {} =
172171uneq2i 3742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 {}) = ( 𝑡)
173169, 172eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∪ {}) = ( 𝑡)
174173, 122syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . 13 ( (𝑡 ∪ {}) = 𝑎 → ( 𝑡) = 𝑎)
175174ad2antll 764 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ( 𝑡) = 𝑎)
17690, 154, 168, 175mbfres2 23318 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
177 imf 13787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℑ:ℂ⟶ℝ
178 fco 6015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
179177, 178mpan 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
181180ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℝ)
182 imcncf 22614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
183182elexi 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℑ ∈ V
184183, 93coex 7065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℑ ∘ 𝑓) ∈ V
185184resex 5402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ V
18698adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → 𝑡 = 𝑏)
187186biantrud 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ↔ ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏)))
188 feq123 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡 ∧ ℂ = ℂ) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ))
189101, 188mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (𝑔:𝑏⟶ℂ ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ))
190 reseq1 5350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → (𝑔𝑠) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠))
191190eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → ((𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
192191adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
193192ralbidv 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
194189, 193anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
195187, 194bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)))
196 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
197196adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → (𝑔 ∈ MblFn ↔ ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
198195, 197imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∧ 𝑏 = 𝑡) → ((((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ↔ ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)))
199198spc2gv 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ V ∧ 𝑡 ∈ V) → (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)))
200185, 96, 199mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
201 fss 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℂ)
202177, 115, 201mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℑ:ℂ⟶ℂ
203 fco 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℑ:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑓:𝑎⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
204202, 203mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ)
205 fssres 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℑ ∘ 𝑓):𝑎⟶ℂ ∧ 𝑡𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
206204, 123, 205syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
207206adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ)
208127resabs1d 5387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟))
209 resco 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓𝑟))
210208, 209syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟𝑡 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓𝑟)))
211210adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (ℑ ∘ (𝑓𝑟)))
212143simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (ℑ ∘ (𝑓𝑟)) ∈ MblFn)
213211, 212eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑟𝑡) → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
214213ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑟𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn)
215 reseq2 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑠 → (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) = (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠))
216215eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑠 → ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn))
217216cbvralv 3159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑟𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑟) ∈ MblFn ↔ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
218214, 217sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
219218adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn)
220 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
221207, 219, 220syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → (((((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡): 𝑡⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ↾ 𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn))
222200, 221mpan9 486 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ 𝑡) ∈ MblFn)
223 resco 5598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ) = (ℑ ∘ (𝑓))
224164simplbda 653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓) ∈ MblFn) → (ℑ ∘ (𝑓)) ∈ MblFn)
225223, 224syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ (𝑓) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
226160, 225sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
227226ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → ((ℑ ∘ 𝑓) ↾ ) ∈ MblFn)
228181, 222, 227, 175mbfres2 23318 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)
229 ismbfcn 23304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑎⟶ℂ → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
230229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
231230ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → (𝑓 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝑓) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝑓) ∈ MblFn)))
232176, 228, 231mpbir2and 956 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) ∧ ((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎)) → 𝑓 ∈ MblFn)
233232ex 450 . . . . . . . . 9 (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
234233alrimivv 1853 . . . . . . . 8 (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
235234a1i 11 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ Fin → (∀𝑔𝑏(((𝑔:𝑏⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑡 (𝑔𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑡 = 𝑏) → 𝑔 ∈ MblFn) → ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑡 ∪ {})(𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ (𝑡 ∪ {}) = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn)))
23636, 59, 66, 73, 85, 235findcard2 8144 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → ∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
237 2sp 2054 . . . . . 6 (∀𝑓𝑎(((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn) → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
2384, 236, 2373syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑓:𝑎⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝑓𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝑎) → 𝑓 ∈ MblFn))
23917, 26, 238vtocl2g 3256 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn)))
24011, 239mpcom 38 . . 3 (𝜑 → (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) ∧ 𝑆 = 𝐴) → 𝐹 ∈ MblFn))
2413, 240mpan2d 709 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑠𝑆 (𝐹𝑠) ∈ MblFn) → 𝐹 ∈ MblFn))
2421, 2, 241mp2and 714 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   cuni 4402  dom cdm 5074  cres 5076  ccom 5078  Rel wrel 5079  wf 5843  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  cre 13771  cim 13772  cnccncf 22587  MblFncmbf 23289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-xmet 19658  df-met 19659  df-cncf 22589  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294
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