Theorem mbfresmf 43009

Description: A real-valued measurable function is a sigma-measurable function (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfresmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfresmf.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
mbfresmf.3	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
mbfresmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem mbfresmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1911	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		mbfresmf.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom vol
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom vol)
4		dmvolsal 42622	. . . 4 ⊢ dom vol ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
6	3, 5	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		mbfresmf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
8		mbfdmssre 42278	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
10	2	unieqi 4841	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
11		unidmvol 24136	. . . 4 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
12	10, 11	eqtri 2844	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
13	9, 12	sseqtrrdi 4018	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
14		mbff 24220	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15		ffn 6509	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
16	7, 14, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
17		mbfresmf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
18	16, 17	jca 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
19		df-f 6354	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
20	18, 19	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
21	20	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
22		rexr 10681	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
23	22	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
24	21, 23	preimaioomnf 42990	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
25	24	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)))
26	4	elexi 3514	. . . . . 6 ⊢ dom vol ∈ V
27	2, 26	eqeltri 2909	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ V)
29	7	dmexd 7609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
30	29	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 ∈ V)
31		mbfima 24225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
32	7, 20, 31	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
33	32, 3	eleqtrrd 2916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
34	33	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
35		cnvimass 5944	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹
36		dfss 3953	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 ↔ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
37	36	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
38	35, 37	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹)
39	28, 30, 34, 38	elrestd 41367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
40	25, 39	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
41	1, 6, 13, 20, 40	issmfd 43005	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3495   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∪ cuni 4832   class class class wbr 5059  ^◡ccnv 5549  dom cdm 5550  ran crn 5551   “ cima 5553   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  -∞cmnf 10667  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669  (,)cioo 12732   ↾_t crest 16688  volcvol 24058  MblFncmbf 24209  SAlgcsalg 42586  SMblFncsmblfn 42970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-disj 5025  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xadd 12502  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-rest 16690  df-xmet 20532  df-met 20533  df-ovol 24059  df-vol 24060  df-mbf 24214  df-salg 42587  df-smblfn 42971

This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  43052