MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfsub 23335
Description: The difference of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfsub (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfsub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfadd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbff 23300 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4 elin 3774 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
54simplbi 476 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
6 ffvelrn 6313 . . . . . . 7 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
73, 5, 6syl2an 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
8 mbfadd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
9 mbff 23300 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
114simprbi 480 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
12 ffvelrn 6313 . . . . . . 7 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1310, 11, 12syl2an 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
147, 13negsubd 10342 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
1514eqcomd 2627 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥)))
1615mpteq2dva 4704 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥))))
17 ffn 6002 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
183, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
19 ffn 6002 . . . . 5 (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ → 𝐺 Fn dom 𝐺)
2010, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn dom 𝐺)
21 mbfdm 23301 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
221, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
23 mbfdm 23301 . . . . 5 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
248, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
25 eqid 2621 . . . 4 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
26 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
27 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2818, 20, 22, 24, 25, 26, 27offval 6857 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))))
29 inmbl 23217 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
3022, 24, 29syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
3113negcld 10323 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → -(𝐺𝑥) ∈ ℂ)
32 eqidd 2622 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
33 eqidd 2622 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥)))
3430, 7, 31, 32, 33offval2 6867 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥))))
3516, 28, 343eqtr4d 2665 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥))))
36 inss1 3811 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
37 resmpt 5408 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
3836, 37mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
393feqmptd 6206 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)))
4039, 1eqeltrrd 2699 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
41 mbfres 23317 . . . . 5 (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4240, 30, 41syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4338, 42eqeltrrd 2699 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
44 inss2 3812 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
45 resmpt 5408 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)))
4644, 45mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)))
4710feqmptd 6206 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)))
4847, 8eqeltrrd 2699 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
49 mbfres 23317 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5048, 30, 49syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5146, 50eqeltrrd 2699 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
5213, 51mbfneg 23323 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
5343, 52mbfadd 23334 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
5435, 53eqeltrd 2698 1 (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3554  wss 3555  cmpt 4673  dom cdm 5074  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cc 9878   + caddc 9883  cmin 10210  -cneg 10211  volcvol 23139  MblFncmbf 23289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-xmet 19658  df-met 19659  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294
This theorem is referenced by:  mbfmul  23399  iblulm  24065
  Copyright terms: Public domain W3C validator