MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfulm 24081
Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 23358.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfulm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfulm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶MblFn)
mbfulm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
mbfulm (𝜑𝐺 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfulm
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfulm.u . . . 4 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmcl 24056 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
43feqmptd 6211 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
5 mbfulm.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 mbfulm.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 mbfulm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶MblFn)
9 ffn 6007 . . . . . . 7 (𝐹:𝑍⟶MblFn → 𝐹 Fn 𝑍)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
11 ulmf2 24059 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
1210, 1, 11syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
1312adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
14 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
15 fvex 6163 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
165, 15eqeltri 2694 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1716mptex 6446 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ V)
19 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
2019fveq1d 6155 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑛)‘𝑧))
21 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧))
22 fvex 6163 . . . . . . 7 ((𝐹𝑛)‘𝑧) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6244 . . . . . 6 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝑧))
2423eqcomd 2627 . . . . 5 (𝑛𝑍 → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
2524adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
261adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
275, 7, 13, 14, 18, 25, 26ulmclm 24062 . . 3 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
2812ffvelrnda 6320 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
29 elmapi 7831 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
3130feqmptd 6211 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
328ffvelrnda 6320 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
3331, 32eqeltrrd 2699 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ MblFn)
3430ffvelrnda 6320 . . . 4 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
3534anasss 678 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
365, 6, 27, 33, 35mbflim 23358 . 2 (𝜑 → (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)) ∈ MblFn)
374, 36eqeltrd 2698 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189   class class class wbr 4618  cmpt 4678   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809  cc 9886  cz 11329  cuz 11639  MblFncmbf 23306  𝑢culm 24051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cc 9209  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xadd 11899  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-xmet 19671  df-met 19672  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-mbf 23311  df-ulm 24052
This theorem is referenced by:  iblulm  24082
  Copyright terms: Public domain W3C validator