MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblsplit 23024
Description: The defining property of measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblsplit ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))

Proof of Theorem mblsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9883 . . . 4 ℝ ∈ V
21elpw2 4750 . . 3 (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ)
3 ismbl 23018 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))))
43simprbi 478 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴)))))
5 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘𝑥) = (vol*‘𝐵))
65eleq1d 2671 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
7 ineq1 3768 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
87fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥𝐴)) = (vol*‘(𝐵𝐴)))
9 difeq1 3682 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
109fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥𝐴)) = (vol*‘(𝐵𝐴)))
118, 10oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))
125, 11eqeq12d 2624 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))) ↔ (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴)))))
136, 12imbi12d 332 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴)))) ↔ ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
1413rspccv 3278 . . . 4 (∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴)))) → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
154, 14syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
162, 15syl5bir 231 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ⊆ ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
17163imp 1248 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  𝒫 cpw 4107  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791   + caddc 9795  vol*covol 22955  volcvol 22956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-ovol 22957  df-vol 22958
This theorem is referenced by:  cmmbl  23026  nulmbl2  23028  unmbl  23029  shftmbl  23030  volun  23037  voliunlem1  23042  uniioombllem4  23077  uniioombllem5  23078  mblfinlem3  32421  mblfinlem4  32422
  Copyright terms: Public domain W3C validator