MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblss 23280
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbl 23275 . 2 (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))))
21simplbi 476 1 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  cdif 3564  cin 3566  wss 3567  𝒫 cpw 4149  dom cdm 5104  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920   + caddc 9924  vol*covol 23212  volcvol 23213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-ovol 23214  df-vol 23215
This theorem is referenced by:  volss  23282  nulmbl2  23285  unmbl  23286  shftmbl  23287  unidmvol  23290  inmbl  23291  difmbl  23292  volun  23294  volinun  23295  volfiniun  23296  voliunlem2  23300  voliunlem3  23301  volsup  23305  volsup2  23354  volcn  23355  vitalilem4  23361  vitalilem5  23362  vitali  23363  ismbf  23378  ismbfcn  23379  mbfconst  23383  mbfid  23384  cncombf  23406  cnmbf  23407  i1fima2  23427  i1fd  23429  itg1ge0  23434  i1f1lem  23437  itg11  23439  i1fadd  23443  i1fmul  23444  itg1addlem2  23445  itg1addlem5  23448  i1fres  23453  itg1ge0a  23459  itg1climres  23462  mbfi1fseqlem4  23466  mbfi1flim  23471  mbfmullem2  23472  itg2const2  23489  itg2splitlem  23496  itg2split  23497  itg2gt0  23508  itg2cnlem2  23510  ibladdlem  23567  itgaddlem1  23570  iblabslem  23575  itggt0  23589  itgcn  23590  ftc1lem4  23783  itgulm  24143  areaf  24669  dmvlsiga  30166  volsupnfl  33425  cnambfre  33429  itg2addnclem  33432  ibladdnclem  33437  itgaddnclem1  33439  iblabsnclem  33444  ftc1cnnclem  33454  volge0  39940  dmvolss  39965  vonvol  40639
  Copyright terms: Public domain W3C validator