MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblss 23018
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbl 23013 . 2 (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))))
21simplbi 474 1 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2890  cdif 3531  cin 3533  wss 3534  𝒫 cpw 4102  dom cdm 5023  cfv 5785  (class class class)co 6522  cr 9786   + caddc 9790  vol*covol 22950  volcvol 22951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-sup 8203  df-inf 8204  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-rp 11660  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-seq 12614  df-exp 12673  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-ovol 22952  df-vol 22953
This theorem is referenced by:  volss  23020  nulmbl2  23023  unmbl  23024  shftmbl  23025  unidmvol  23028  inmbl  23029  difmbl  23030  volun  23032  volinun  23033  volfiniun  23034  voliunlem2  23038  voliunlem3  23039  volsup  23043  volsup2  23091  volcn  23092  vitalilem4  23098  vitalilem5  23099  vitali  23100  ismbf  23115  ismbfcn  23116  mbfconst  23120  mbfid  23121  cncombf  23143  cnmbf  23144  i1fima2  23164  i1fd  23166  itg1ge0  23171  i1f1lem  23174  itg11  23176  i1fadd  23180  i1fmul  23181  itg1addlem2  23182  itg1addlem5  23185  i1fres  23190  itg1ge0a  23196  itg1climres  23199  mbfi1fseqlem4  23203  mbfi1flim  23208  mbfmullem2  23209  itg2const2  23226  itg2splitlem  23233  itg2split  23234  itg2gt0  23245  itg2cnlem2  23247  ibladdlem  23304  itgaddlem1  23307  iblabslem  23312  itggt0  23326  itgcn  23327  ftc1lem4  23518  itgulm  23878  areaf  24400  dmvlsiga  29320  volsupnfl  32422  cnambfre  32426  itg2addnclem  32429  ibladdnclem  32434  itgaddnclem1  32436  iblabsnclem  32441  ftc1cnnclem  32451  volge0  38652  dmvolss  38677  vonvol  39351
  Copyright terms: Public domain W3C validator