Theorem mblvol 24133

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 24131	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6673	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	syl5eq 2870	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  dom cdm 5557   ↾ cres 5559  ‘cfv 6357  vol*covol 24065  volcvol 24066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-iota 6316  df-fv 6365  df-vol 24068

This theorem is referenced by:  volss  24136  volun  24148  volinun  24149  volfiniun  24150  voliunlem3  24155  volsup  24159  iccvolcl  24170  ovolioo  24171  volioo  24172  ioovolcl  24173  uniioovol  24182  uniioombllem4  24189  volcn  24209  volivth  24210  vitalilem4  24214  i1fima2  24282  i1fd  24284  i1f0rn  24285  itg1val2  24287  itg1ge0  24289  itg11  24294  i1fadd  24298  i1fmul  24299  itg1addlem2  24300  itg1addlem4  24302  i1fres  24308  itg10a  24313  itg1ge0a  24314  itg1climres  24317  mbfi1fseqlem4  24321  itg2const2  24344  itg2gt0  24363  itg2cnlem2  24365  ftc1a  24636  ftc1lem4  24638  itgulm  24998  areaf  25541  cntnevol  31489  volmeas  31492  mblfinlem3  34933  mblfinlem4  34934  ismblfin  34935  voliunnfl  34938  volsupnfl  34939  itg2addnclem  34945  itg2addnclem2  34946  itg2gt0cn  34949  ftc1cnnclem  34967  ftc1anclem7  34975  areacirc  34989  arearect  39829  areaquad  39830  vol0  42251  volge0  42253  volsn  42259  volicc  42290  vonvol  42951