MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblvol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblvol 23022
Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblvol (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol
StepHypRef Expression
1 volres 23020 . . 3 vol = (vol* ↾ dom vol)
21fveq1i 6089 . 2 (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3 fvres 6102 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
42, 3syl5eq 2655 1 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  dom cdm 5028  cres 5030  cfv 5790  vol*covol 22955  volcvol 22956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-iota 5754  df-fv 5798  df-vol 22958
This theorem is referenced by:  volss  23025  volun  23037  volinun  23038  volfiniun  23039  voliunlem3  23044  volsup  23048  iccvolcl  23059  ovolioo  23060  ioovolcl  23061  uniioovol  23070  uniioombllem4  23077  volcn  23097  volivth  23098  vitalilem4  23103  i1fima2  23169  i1fd  23171  i1f0rn  23172  itg1val2  23174  itg1ge0  23176  itg11  23181  i1fadd  23185  i1fmul  23186  itg1addlem2  23187  itg1addlem4  23189  i1fres  23195  itg10a  23200  itg1ge0a  23201  itg1climres  23204  mbfi1fseqlem4  23208  itg2const2  23231  itg2gt0  23250  itg2cnlem2  23252  ftc1a  23521  ftc1lem4  23523  itgulm  23883  areaf  24405  cntnevol  29424  volmeas  29427  mblfinlem3  32421  mblfinlem4  32422  ismblfin  32423  voliunnfl  32426  volsupnfl  32427  itg2addnclem  32434  itg2addnclem2  32435  itg2gt0cn  32438  ftc1cnnclem  32456  ftc1anclem7  32464  areacirc  32478  arearect  36623  areaquad  36624  volioo  38644  vol0  38655  volge0  38657  volsn  38663  volicc  38695  vonvol  39356
  Copyright terms: Public domain W3C validator