Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mccl 40325
Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccl.kb 𝑘𝐵
mccl.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
mccl.b (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mccl (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem mccl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 14610 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘))
21fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)))
3 prodeq1 14830 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘)))
42, 3oveq12d 6823 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))))
54eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
65ralbidv 3116 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
7 oveq2 6813 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (ℕ0𝑚 𝑎) = (ℕ0𝑚 ∅))
87raleqdv 3275 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
96, 8bitrd 268 . . 3 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
10 sumeq1 14610 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑐 → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘))
1110fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑐 → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)))
12 prodeq1 14830 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑐 → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)))
1311, 12oveq12d 6823 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑐 → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))))
1413eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
1514ralbidv 3116 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
16 oveq2 6813 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (ℕ0𝑚 𝑎) = (ℕ0𝑚 𝑐))
1716raleqdv 3275 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
1815, 17bitrd 268 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
19 sumeq1 14610 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘))
2019fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)))
21 prodeq1 14830 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘)))
2220, 21oveq12d 6823 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))))
2322eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
2423ralbidv 3116 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
25 oveq2 6813 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (ℕ0𝑚 𝑎) = (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑})))
2625raleqdv 3275 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
2724, 26bitrd 268 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
28 sumeq1 14610 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘))
2928fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)))
30 prodeq1 14830 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)))
3129, 30oveq12d 6823 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))))
3231eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
3332ralbidv 3116 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
34 oveq2 6813 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (ℕ0𝑚 𝑎) = (ℕ0𝑚 𝐴))
3534raleqdv 3275 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
3633, 35bitrd 268 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
37 sum0 14643 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘) = 0
3837fveq2i 6347 . . . . . . . . 9 (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) = (!‘0)
39 fac0 13249 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
4038, 39eqtri 2774 . . . . . . . 8 (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) = 1
41 prod0 14864 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘)) = 1
4240, 41oveq12i 6817 . . . . . . 7 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) = (1 / 1)
43 1div1e1 10901 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
4442, 43eqtri 2774 . . . . . 6 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) = 1
45 1nn 11215 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4644, 45eqeltri 2827 . . . . 5 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ
4746a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 ∅)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
4847ralrimiva 3096 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
49 nfv 1984 . . . . . 6 𝑏(𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐)))
50 nfra1 3071 . . . . . 6 𝑏𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ
5149, 50nfan 1969 . . . . 5 𝑏((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
52 simpll 807 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → (𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))))
53 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
5453cbvsumv 14617 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗))
56 fveq1 6343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑗) = (𝑒𝑗))
5756sumeq2ad 14625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗) = Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗))
5855, 57eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗))
5958fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)))
6053fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝑏𝑗)))
6160cbvprodv 14837 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗))
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗)))
6356fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → (!‘(𝑏𝑗)) = (!‘(𝑒𝑗)))
6463prodeq2ad 40319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)))
6562, 64eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)))
6659, 65oveq12d 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑒 → ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))))
6766eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑒 → (((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ))
6867cbvralv 3302 . . . . . . . . 9 (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
6968biimpi 206 . . . . . . . 8 (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
7069ad2antlr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
71 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑})))
72 mccl.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7372ad3antrrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝐴 ∈ Fin)
74 simprl 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → 𝑐𝐴)
7574ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑐𝐴)
76 simprr 813 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → 𝑑 ∈ (𝐴𝑐))
7776ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑑 ∈ (𝐴𝑐))
78 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑})))
79 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝑒𝑗) = (𝑒𝑘))
8079cbvsumv 14617 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗) = Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)
8180fveq2i 6347 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) = (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘))
8279fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑒𝑗)) = (!‘(𝑒𝑘)))
8382cbvprodv 14837 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)) = ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))
8481, 83oveq12i 6817 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) = ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘)))
8584eleq1i 2822 . . . . . . . . . . 11 (((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8685ralbii 3110 . . . . . . . . . 10 (∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8786biimpi 206 . . . . . . . . 9 (∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8887ad2antlr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8973, 75, 77, 78, 88mccllem 40324 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9052, 70, 71, 89syl21anc 1472 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9190ex 449 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) → (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑})) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
9251, 91ralrimi 3087 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9392ex 449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
949, 18, 27, 36, 48, 93, 72findcard2d 8359 . 2 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
95 mccl.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴))
96 nfcv 2894 . . . . . . . . 9 𝑘𝑏
97 mccl.kb . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
9896, 97nfeq 2906 . . . . . . . 8 𝑘 𝑏 = 𝐵
99 fveq1 6343 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
10099a1d 25 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝑘𝐴 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘)))
10198, 100ralrimi 3087 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
102101sumeq2d 14623 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘))
103102fveq2d 6348 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)))
10499fveq2d 6348 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
105104a1d 25 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑘𝐴 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘))))
10698, 105ralrimi 3087 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
107106prodeq2d 14843 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘)))
108103, 107oveq12d 6823 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))))
109108eleq1d 2816 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ))
110109rspccva 3440 . 2 ((∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)) → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
11194, 95, 110syl2anc 696 1 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wnfc 2881  wral 3042  cdif 3704  cun 3705  wss 3707  c0 4050  {csn 4313  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑚 cmap 8015  Fincfn 8113  0cc0 10120  1c1 10121   / cdiv 10868  cn 11204  0cn0 11476  !cfa 13246  Σcsu 14607  cprod 14826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-prod 14827
This theorem is referenced by:  etransclem24  40970  etransclem25  40971  etransclem26  40972  etransclem28  40974  etransclem35  40981  etransclem37  40983
  Copyright terms: Public domain W3C validator