Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclsppslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclsppslem 31185
Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 31171.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclspps.d 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclspps.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclspps.c 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclspps.1 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
mclspps.2 (𝜑𝐾𝐷)
mclspps.3 (𝜑𝐵𝐸)
mclspps.j 𝐽 = (mPPSt‘𝑇)
mclspps.l 𝐿 = (mSubst‘𝑇)
mclspps.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mclspps.h 𝐻 = (mVH‘𝑇)
mclspps.w 𝑊 = (mVars‘𝑇)
mclspps.4 (𝜑 → ⟨𝑀, 𝑂, 𝑃⟩ ∈ 𝐽)
mclspps.5 (𝜑𝑆 ∈ ran 𝐿)
mclspps.6 ((𝜑𝑥𝑂) → (𝑆𝑥) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
mclspps.7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑆‘(𝐻𝑣)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
mclspps.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))))) → 𝑎𝐾𝑏)
mclsppslem.9 (𝜑 → ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇))
mclsppslem.10 (𝜑𝑠 ∈ ran 𝐿)
mclsppslem.11 (𝜑 → (𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
mclsppslem.12 (𝜑 → ∀𝑧𝑤(𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
mclsppslem (𝜑 → (𝑠𝑝) ∈ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝐸   𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐻   𝑣,𝑉,𝑧   𝐾,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑥,𝑦   𝑇,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐿,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑥,𝑦   𝑊,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑂,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝜑,𝑎,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑧,𝑤)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑧,𝑤)   𝑂(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mclsppslem
Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclsppslem.10 . . . 4 (𝜑𝑠 ∈ ran 𝐿)
2 mclspps.l . . . . 5 𝐿 = (mSubst‘𝑇)
3 mclspps.e . . . . 5 𝐸 = (mEx‘𝑇)
42, 3msubf 31134 . . . 4 (𝑠 ∈ ran 𝐿𝑠:𝐸𝐸)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑠:𝐸𝐸)
6 mclspps.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
7 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (mAx‘𝑇) = (mAx‘𝑇)
8 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (mStat‘𝑇) = (mStat‘𝑇)
97, 8maxsta 31156 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ mFS → (mAx‘𝑇) ⊆ (mStat‘𝑇))
106, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mAx‘𝑇) ⊆ (mStat‘𝑇))
11 eqid 2621 . . . . . . . 8 (mPreSt‘𝑇) = (mPreSt‘𝑇)
1211, 8mstapst 31149 . . . . . . 7 (mStat‘𝑇) ⊆ (mPreSt‘𝑇)
1310, 12syl6ss 3595 . . . . . 6 (𝜑 → (mAx‘𝑇) ⊆ (mPreSt‘𝑇))
14 mclsppslem.9 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇))
1513, 14sseldd 3584 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇))
16 mclspps.d . . . . . 6 𝐷 = (mDV‘𝑇)
1716, 3, 11elmpst 31138 . . . . 5 (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇) ↔ ((𝑚𝐷𝑚 = 𝑚) ∧ (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin) ∧ 𝑝𝐸))
1815, 17sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚𝐷𝑚 = 𝑚) ∧ (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin) ∧ 𝑝𝐸))
1918simp3d 1073 . . 3 (𝜑𝑝𝐸)
205, 19ffvelrnd 6316 . 2 (𝜑 → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)
21 fvco3 6232 . . . 4 ((𝑠:𝐸𝐸𝑝𝐸) → ((𝑆𝑠)‘𝑝) = (𝑆‘(𝑠𝑝)))
225, 19, 21syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑠)‘𝑝) = (𝑆‘(𝑠𝑝)))
23 mclspps.c . . . 4 𝐶 = (mCls‘𝑇)
24 mclspps.2 . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
25 mclspps.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
26 mclspps.v . . . 4 𝑉 = (mVR‘𝑇)
27 mclspps.h . . . 4 𝐻 = (mVH‘𝑇)
28 mclspps.w . . . 4 𝑊 = (mVars‘𝑇)
29 mclspps.5 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ran 𝐿)
302msubco 31133 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ran 𝐿𝑠 ∈ ran 𝐿) → (𝑆𝑠) ∈ ran 𝐿)
3129, 1, 30syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑠) ∈ ran 𝐿)
322, 3msubf 31134 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ran 𝐿𝑆:𝐸𝐸)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:𝐸𝐸)
34 fco 6015 . . . . . . . 8 ((𝑆:𝐸𝐸𝑠:𝐸𝐸) → (𝑆𝑠):𝐸𝐸)
3533, 5, 34syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑠):𝐸𝐸)
36 ffn 6002 . . . . . . 7 ((𝑆𝑠):𝐸𝐸 → (𝑆𝑠) Fn 𝐸)
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑠) Fn 𝐸)
3837adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝑜) → (𝑆𝑠) Fn 𝐸)
39 mclsppslem.11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
40 ffun 6005 . . . . . . . . . . 11 (𝑠:𝐸𝐸 → Fun 𝑠)
415, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝑠)
4217simp2bi 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇) → (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin))
4315, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin))
4443simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑜𝐸)
4526, 3, 27mvhf 31160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉𝐸)
46 frn 6010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:𝑉𝐸 → ran 𝐻𝐸)
476, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝐻𝐸)
4844, 47unssd 3767 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸)
49 fdm 6008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐸𝐸 → dom 𝑠 = 𝐸)
505, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑠 = 𝐸)
5148, 50sseqtr4d 3621 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ dom 𝑠)
52 funimass3 6289 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑠 ∧ (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ dom 𝑠) → ((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))))
5341, 51, 52syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))))
5439, 53mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵))))
55 cnvco 5268 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑠) = (𝑠𝑆)
5655imaeq1i 5422 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)) = ((𝑠𝑆) “ (𝐾𝐶𝐵))
57 imaco 5599 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑆) “ (𝐾𝐶𝐵)) = (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
5856, 57eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)) = (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
5954, 58syl6sseqr 3631 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
6059unssad 3768 . . . . . 6 (𝜑𝑜 ⊆ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
6160sselda 3583 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝑜) → 𝑐 ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
62 elpreima 6293 . . . . . 6 ((𝑆𝑠) Fn 𝐸 → (𝑐 ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ (𝑐𝐸 ∧ ((𝑆𝑠)‘𝑐) ∈ (𝐾𝐶𝐵))))
6362simplbda 653 . . . . 5 (((𝑆𝑠) Fn 𝐸𝑐 ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵))) → ((𝑆𝑠)‘𝑐) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
6438, 61, 63syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑐𝑜) → ((𝑆𝑠)‘𝑐) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
6537adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑆𝑠) Fn 𝐸)
6659unssbd 3769 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
6766adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → ran 𝐻 ⊆ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
68 ffn 6002 . . . . . . . 8 (𝐻:𝑉𝐸𝐻 Fn 𝑉)
696, 45, 683syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn 𝑉)
70 fnfvelrn 6312 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝑉𝑡𝑉) → (𝐻𝑡) ∈ ran 𝐻)
7169, 70sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐻𝑡) ∈ ran 𝐻)
7267, 71sseldd 3584 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐻𝑡) ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
73 elpreima 6293 . . . . . 6 ((𝑆𝑠) Fn 𝐸 → ((𝐻𝑡) ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ ((𝐻𝑡) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑡)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))))
7473simplbda 653 . . . . 5 (((𝑆𝑠) Fn 𝐸 ∧ (𝐻𝑡) ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵))) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑡)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
7565, 72, 74syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑡)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
765adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑠:𝐸𝐸)
776, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻:𝑉𝐸)
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝐻:𝑉𝐸)
7918simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑚𝐷𝑚 = 𝑚))
8079simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑚𝐷)
8126, 16mdvval 31106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷 = ((𝑉 × 𝑉) ∖ I )
82 difss 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 × 𝑉) ∖ I ) ⊆ (𝑉 × 𝑉)
8381, 82eqsstri 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 ⊆ (𝑉 × 𝑉)
8480, 83syl6ss 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑚 ⊆ (𝑉 × 𝑉))
8584ssbrd 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑐𝑚𝑑𝑐(𝑉 × 𝑉)𝑑))
8685imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑐(𝑉 × 𝑉)𝑑)
87 brxp 5107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐(𝑉 × 𝑉)𝑑 ↔ (𝑐𝑉𝑑𝑉))
8886, 87sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑐𝑉𝑑𝑉))
8988simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑐𝑉)
9078, 89ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝐻𝑐) ∈ 𝐸)
91 fvco3 6232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐸𝐸 ∧ (𝐻𝑐) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐)) = (𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐))))
9276, 90, 91syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐)) = (𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐))))
9392fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) = (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))))
946adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑇 ∈ mFS)
9529adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑆 ∈ ran 𝐿)
9676, 90ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑠‘(𝐻𝑐)) ∈ 𝐸)
972, 3, 28, 27msubvrs 31162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠‘(𝐻𝑐)) ∈ 𝐸) → (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))) = 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
9894, 95, 96, 97syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))) = 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
9993, 98eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) = 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
10099eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ↔ 𝑎 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢)))))
101 eliun 4490 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
102100, 101syl6bb 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢)))))
10388simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑑𝑉)
10478, 103ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝐻𝑑) ∈ 𝐸)
105 fvco3 6232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐸𝐸 ∧ (𝐻𝑑) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑)) = (𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))
10676, 104, 105syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑)) = (𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))
107106fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) = (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))))
10876, 104ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑠‘(𝐻𝑑)) ∈ 𝐸)
1092, 3, 28, 27msubvrs 31162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠‘(𝐻𝑑)) ∈ 𝐸) → (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) = 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
11094, 95, 108, 109syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) = 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
111107, 110eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) = 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
112111eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) ↔ 𝑏 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))
113 eliun 4490 . . . . . . . . 9 (𝑏 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
114112, 113syl6bb 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))
115102, 114anbi12d 746 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑)))) ↔ (∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))))
116 reeanv 3097 . . . . . . . 8 (∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) ↔ (∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))
117 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝑚𝑑) ∧ (𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))) → 𝜑)
118 brxp 5107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))𝑣 ↔ (𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))))
119 mclsppslem.12 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑧𝑤(𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀))
120 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 ∈ V
121 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑑 ∈ V
122 breq12 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑧𝑚𝑤𝑐𝑚𝑑))
123 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → 𝑧 = 𝑐)
124123fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝐻𝑧) = (𝐻𝑐))
125124fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑠‘(𝐻𝑧)) = (𝑠‘(𝐻𝑐)))
126125fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) = (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))))
127 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → 𝑤 = 𝑑)
128127fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝐻𝑤) = (𝐻𝑑))
129128fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑠‘(𝐻𝑤)) = (𝑠‘(𝐻𝑑)))
130129fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤))) = (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))
131126, 130xpeq12d 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) = ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))))
132131sseq1d 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀 ↔ ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀))
133122, 132imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → ((𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀) ↔ (𝑐𝑚𝑑 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀)))
134133spc2gv 3282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) → (∀𝑧𝑤(𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀) → (𝑐𝑚𝑑 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀)))
135120, 121, 134mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑤(𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀) → (𝑐𝑚𝑑 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀))
136119, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑐𝑚𝑑 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀))
137136imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀)
138137ssbrd 4656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑢((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))𝑣𝑢𝑀𝑣))
139118, 138syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) → 𝑢𝑀𝑣))
140139imp 445 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝑚𝑑) ∧ (𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))) → 𝑢𝑀𝑣)
141 vex 3189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑢 ∈ V
142 vex 3189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣 ∈ V
143 breq12 4618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑀𝑦𝑢𝑀𝑣))
144 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝑥 = 𝑢)
145144fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑢))
146145fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑆‘(𝐻𝑥)) = (𝑆‘(𝐻𝑢)))
147146fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) = (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
148147eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ↔ 𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢)))))
149 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝑦 = 𝑣)
150149fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑣))
151150fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑆‘(𝐻𝑦)) = (𝑆‘(𝐻𝑣)))
152151fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))) = (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
153152eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))) ↔ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))
154143, 148, 1533anbi123d 1396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → ((𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦)))) ↔ (𝑢𝑀𝑣𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))))
155154anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑢𝑀𝑣𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))))
156155imbi1d 331 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))))) → 𝑎𝐾𝑏) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑢𝑀𝑣𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))) → 𝑎𝐾𝑏)))
157 mclspps.8 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))))) → 𝑎𝐾𝑏)
158141, 142, 156, 157vtocl2 3247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑀𝑣𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))) → 𝑎𝐾𝑏)
1591583exp2 1282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑢𝑀𝑣 → (𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) → (𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))) → 𝑎𝐾𝑏))))
160159imp4b 612 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑀𝑣) → ((𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) → 𝑎𝐾𝑏))
161117, 140, 160syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝑚𝑑) ∧ (𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))) → ((𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) → 𝑎𝐾𝑏))
162161rexlimdvva 3031 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) → 𝑎𝐾𝑏))
163116, 162syl5bir 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) → 𝑎𝐾𝑏))
164115, 163sylbid 230 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑)))) → 𝑎𝐾𝑏))
165164exp4b 631 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐𝑚𝑑 → (𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) → (𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) → 𝑎𝐾𝑏))))
1661653imp2 1279 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑚𝑑𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))))) → 𝑎𝐾𝑏)
16716, 3, 23, 6, 24, 25, 7, 2, 26, 27, 28, 14, 31, 64, 75, 166mclsax 31171 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑠)‘𝑝) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
16822, 167eqeltrrd 2699 . 2 (𝜑 → (𝑆‘(𝑠𝑝)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
169 ffn 6002 . . . 4 (𝑆:𝐸𝐸𝑆 Fn 𝐸)
17033, 169syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 Fn 𝐸)
171 elpreima 6293 . . 3 (𝑆 Fn 𝐸 → ((𝑠𝑝) ∈ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ ((𝑠𝑝) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆‘(𝑠𝑝)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))))
172170, 171syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑠𝑝) ∈ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ ((𝑠𝑝) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆‘(𝑠𝑝)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))))
17320, 168, 172mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝑠𝑝) ∈ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  wss 3555  cotp 4156   ciun 4485   class class class wbr 4613   I cid 4984   × cxp 5072  ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075  cima 5077  ccom 5078  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  mVRcmvar 31063  mAxcmax 31067  mExcmex 31069  mDVcmdv 31070  mVarscmvrs 31071  mSubstcmsub 31073  mVHcmvh 31074  mPreStcmpst 31075  mStatcmsta 31077  mFScmfs 31078  mClscmcls 31079  mPPStcmpps 31080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-frmd 17307  df-vrmd 17308  df-mrex 31088  df-mex 31089  df-mdv 31090  df-mvrs 31091  df-mrsub 31092  df-msub 31093  df-mvh 31094  df-mpst 31095  df-msr 31096  df-msta 31097  df-mfs 31098  df-mcls 31099
This theorem is referenced by:  mclspps  31186
  Copyright terms: Public domain W3C validator