HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mddmd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mddmd2 29035
Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mddmd2 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑥C 𝐴 𝑀* 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mddmd2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4622 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 𝑀 𝑥𝐴 𝑀 𝑦))
21cbvralv 3162 . . . 4 (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑦C 𝐴 𝑀 𝑦)
3 mdbr 29020 . . . . . 6 ((𝐴C𝑦C ) → (𝐴 𝑀 𝑦 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦)))))
4 incom 3788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝑥) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥))
5 chjcom 28232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
65ineq1d 3796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝑥C ) → ((𝐴 𝑥) ∩ 𝑦) = ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦))
74, 6syl5reqr 2670 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝑥C ) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))
87adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))
9 incom 3788 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑦) = (𝑦𝐴)
109oveq1i 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑦) ∨ 𝑥) = ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥)
11 chincl 28225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝑦C ) → (𝐴𝑦) ∈ C )
12 chjcom 28232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑦) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝑦)))
1311, 12sylan 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝐴𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝑦)))
1410, 13syl5reqr 2670 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → (𝑥 (𝐴𝑦)) = ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥))
158, 14eqeq12d 2636 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦)) ↔ (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)) = ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥)))
16 eqcom 2628 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)) = ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) ↔ ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))
1715, 16syl6bb 276 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦)) ↔ ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥))))
1817imbi2d 330 . . . . . . 7 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥𝑦 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
1918ralbidva 2980 . . . . . 6 ((𝐴C𝑦C ) → (∀𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦))) ↔ ∀𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
203, 19bitrd 268 . . . . 5 ((𝐴C𝑦C ) → (𝐴 𝑀 𝑦 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
2120ralbidva 2980 . . . 4 (𝐴C → (∀𝑦C 𝐴 𝑀 𝑦 ↔ ∀𝑦C𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
222, 21syl5bb 272 . . 3 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑦C𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
23 ralcom 3091 . . 3 (∀𝑦C𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥))) ↔ ∀𝑥C𝑦C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥))))
2422, 23syl6bb 276 . 2 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑥C𝑦C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
25 dmdbr 29025 . . 3 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑀* 𝑥 ↔ ∀𝑦C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
2625ralbidva 2980 . 2 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀* 𝑥 ↔ ∀𝑥C𝑦C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
2724, 26bitr4d 271 1 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑥C 𝐴 𝑀* 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cin 3558  wss 3559   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610   C cch 27653   chj 27657   𝑀 cmd 27690   𝑀* cdmd 27691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-hilex 27723  ax-hfvadd 27724  ax-hv0cl 27727  ax-hfvmul 27729
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-map 7811  df-nn 10972  df-hlim 27696  df-sh 27931  df-ch 27945  df-chj 28036  df-md 29006  df-dmd 29007
This theorem is referenced by:  atmd  29125
  Copyright terms: Public domain W3C validator