Theorem mdegcl 24665

Description: Sharp closure for multivariate polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Proof of Theorem mdegcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2823	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2823	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 24659	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
8		supeq1 8911	. . . 4 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) = ∅ → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
9	8	eleq1d 2899	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) = ∅ → (sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})))
10		imassrn 5942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
11	2, 3	mplrcl 20272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
12	5, 6	tdeglem1 24654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
13		frn 6522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
15	10, 14	sstrid 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℕ0)
16	15	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℕ0)
17		ssun1 4150	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
18	16, 17	sstrdi 3981	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞}))
19		ffun 6519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
20	11, 12, 19	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
21		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
22		reldmmpl 20209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel dom mPoly
23	22, 2, 3	elbasov 16547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
24	23	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
25	2, 3, 4, 21, 24	mplelsfi 20273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
26	25	fsuppimpd 8842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
27		imafi 8819	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ∧ (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
28	20, 26, 27	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
29	28	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
30		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅)
31		nn0ssre 11904	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
32		ressxr 10687	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
33	31, 32	sstri 3978	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
34	16, 33	sstrdi 3981	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)
35		xrltso 12537	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
36		fisupcl 8935	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
37	35, 36	mpan 688	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
38	29, 30, 34, 37	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
39	18, 38	sseldd 3970	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
40		xrsup0 12719	. . . . 5 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
41		ssun2 4151	. . . . . 6 ⊢ {-∞} ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
42		mnfxr 10700	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
43	42	elexi 3515	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ V
44	43	snid 4603	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ {-∞}
45	41, 44	sselii 3966	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
46	40, 45	eqeltri 2911	. . . 4 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
48	9, 39, 47	pm2.61ne 3104	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
49	7, 48	eqeltrd 2915	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  {crab 3144  Vcvv 3496   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569   ↦ cmpt 5148   Or wor 5475  ^◡ccnv 5556  ran crn 5558   “ cima 5560  Fun wfun 6351  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   supp csupp 7832   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  supcsup 8906  ℝcr 10538  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  Basecbs 16485  0_gc0g 16715   Σ_g cgsu 16716   mPoly cmpl 20135  ℂ_fldccnfld 20547   mDeg cmdg 24649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-psr 20138  df-mpl 20140  df-cnfld 20548  df-mdeg 24651

This theorem is referenced by:  deg1cl  24679