Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegldg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegldg 23764
 Description: A nonzero polynomial has some coefficient which witnesses its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
mdegldg.y 𝑌 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegldg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ,𝑚   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(,𝑚)   𝑃(𝑥,,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝐼(𝑥)   𝑌(𝑥,,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegldg
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 23761 . . . 4 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
873ad2ant2 1081 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
92, 3mplrcl 19430 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
1093ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐼 ∈ V)
115, 6tdeglem1 23756 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1312ffund 6016 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → Fun 𝐻)
14 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹𝐵)
15 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
162, 3, 4, 14, 15mplelsfi 19431 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 finSupp 0 )
1716fsuppimpd 8242 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
18 imafi 8219 . . . . 5 ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
1913, 17, 18syl2anc 692 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin)
20 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹𝑌)
21 mdegldg.y . . . . . . . 8 𝑌 = (0g𝑃)
22 ringgrp 18492 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23223ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑅 ∈ Grp)
242, 5, 4, 21, 10, 23mpl0 19381 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝑌 = (𝐴 × { 0 }))
2520, 24neeqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 }))
26 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
272, 26, 3, 5, 14mplelf 19373 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
2827ffnd 6013 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐹 Fn 𝐴)
29 fvex 6168 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
304, 29eqeltri 2694 . . . . . . . 8 0 ∈ V
31 ovex 6643 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
325, 31rabex2 4785 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
33 fnsuppeq0 7283 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3432, 33mp3an2 1409 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴0 ∈ V) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3528, 30, 34sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) = ∅ ↔ 𝐹 = (𝐴 × { 0 })))
3635necon3bid 2834 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐹 supp 0 ) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ (𝐴 × { 0 })))
3725, 36mpbird 247 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅)
3812ffnd 6013 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → 𝐻 Fn 𝐴)
39 suppssdm 7268 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
40 fdm 6018 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅) → dom 𝐹 = 𝐴)
4127, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → dom 𝐹 = 𝐴)
4239, 41syl5sseq 3638 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
43 fnimaeq0 5980 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
4438, 42, 43syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) = ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) = ∅))
4544necon3bid 2834 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ↔ (𝐹 supp 0 ) ≠ ∅))
4637, 45mpbird 247 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅)
47 imassrn 5446 . . . . . 6 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
48 frn 6020 . . . . . . 7 (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
4912, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
5047, 49syl5ss 3599 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℕ0)
51 nn0ssre 11256 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
52 ressxr 10043 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
5351, 52sstri 3597 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
5450, 53syl6ss 3600 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
55 xrltso 11934 . . . . 5 < Or ℝ*
56 fisupcl 8335 . . . . 5 (( < Or ℝ* ∧ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5755, 56mpan 705 . . . 4 (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ∈ Fin ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ≠ ∅ ∧ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
5819, 46, 54, 57syl3anc 1323 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
598, 58eqeltrd 2698 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )))
60 fvelimab 6220 . . . 4 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
6138, 42, 60syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
62 rexsupp 7273 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6332, 30, 62mp3an23 1413 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6428, 63syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) = (𝐷𝐹) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6561, 64bitrd 268 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ((𝐷𝐹) ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹))))
6659, 65mpbid 222 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹𝑌) → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ (𝐻𝑥) = (𝐷𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2909  {crab 2912  Vcvv 3190   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  {csn 4155   ↦ cmpt 4683   Or wor 5004   × cxp 5082  ◡ccnv 5083  dom cdm 5084  ran crn 5085   “ cima 5087  Fun wfun 5851   Fn wfn 5852  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   supp csupp 7255   ↑𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915  supcsup 8306  ℝcr 9895  ℝ*cxr 10033   < clt 10034  ℕcn 10980  ℕ0cn0 11252  Basecbs 15800  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  Grpcgrp 17362  Ringcrg 18487   mPoly cmpl 19293  ℂfldccnfld 19686   mDeg cmdg 23751 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-psr 19296  df-mpl 19298  df-cnfld 19687  df-mdeg 23753 This theorem is referenced by:  mdegnn0cl  23769  deg1ldg  23790
 Copyright terms: Public domain W3C validator