MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegmullem 23759
Description: Lemma for mdegmulle2 23760. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegmulle2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegmulle2.t · = (.r𝑌)
mdegmulle2.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegmulle2.g (𝜑𝐺𝐵)
mdegmulle2.j1 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.k1 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.j2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
mdegmulle2.k2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
mdegmullem.a 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegmullem.h 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
Assertion
Ref Expression
mdegmullem (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐽(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎)   𝑌(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑌)
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 19375 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)))))))
98fveq1d 6155 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥))
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥))
11 breq2 4622 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑥))
1211rabbidv 3180 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} = {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
13 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑥 → (𝑐𝑓𝑑) = (𝑥𝑓𝑑))
1413fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)) = (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)))
1514oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))
1612, 15mpteq12dv 4698 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)))))
1716oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))))
18 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)))))) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))
19 ovex 6638 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6244 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))))
2120ad2antrl 763 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))))
22 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
23 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
24 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
256ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝐹𝐵)
26 elrabi 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} → 𝑑𝐴)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑑𝐴)
2827adantrr 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝑑𝐴)
2922, 1, 2mdegxrcl 23748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
306, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3130ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
32 nn0ssre 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℝ
33 ressxr 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ⊆ ℝ*
35 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
3634, 35sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐽 ∈ ℝ*)
3736ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ*)
38 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐼𝑉)
395, 24tdeglem1 23739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉𝐻:𝐴⟶ℕ0)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℕ0)
4140ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
4241, 27ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℕ0)
4334, 42sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ*)
4431, 37, 433jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
4544adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
46 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4746ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4847anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
4948anasss 678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
50 xrlelttr 11939 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑)))
5145, 49, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑))
5222, 1, 2, 23, 5, 24, 25, 28, 51mdeglt 23746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐹𝑑) = (0g𝑅))
5352oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))
54 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5554ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
56 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
571, 56, 2, 5, 7mplelf 19365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
5857ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
59 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ⊆ 𝐴
6038ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
61 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑥𝐴)
62 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
63 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} = {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}
645, 63psrbagconcl 19305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑥𝐴𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
6560, 61, 62, 64syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
6659, 65sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ 𝐴)
6758, 66ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
6856, 3, 23ringlz 18519 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
6955, 67, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
7069adantrr 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
7153, 70eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
7271anassrs 679 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
737ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → 𝐺𝐵)
7466adantrr 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ 𝐴)
7522, 1, 2mdegxrcl 23748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
767, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
7776ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
78 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7934, 78sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
8079ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ*)
8141, 66ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℕ0)
8234, 81sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*)
8377, 80, 823jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*))
8483adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*))
85 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8685ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8786anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
8887anasss 678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
89 xrlelttr 11939 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
9084, 88, 89sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))
9122, 1, 2, 23, 5, 24, 73, 74, 90mdeglt 23746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)) = (0g𝑅))
9291oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)))
931, 56, 2, 5, 6mplelf 19365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9493ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9594, 27ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9656, 3, 23ringrz 18520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9755, 95, 96syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9897adantrr 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9992, 98eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
10099anassrs 679 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
101 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))
10242nn0red 11304 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ)
10381nn0red 11304 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ)
10435ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐽 ∈ ℕ0)
105104nn0red 11304 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ)
10678ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐾 ∈ ℕ0)
107106nn0red 11304 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ)
108 le2add 10462 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐻𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
109102, 103, 105, 107, 108syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1105, 24tdeglem3 23740 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑑𝐴 ∧ (𝑥𝑓𝑑) ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
11160, 27, 66, 110syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
1125psrbagf 19297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼𝑉𝑑𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
1131123adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
114113ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℕ0)
115114nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℂ)
1165psrbagf 19297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼𝑉𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
1171163adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
118117ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℕ0)
119118nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℂ)
120115, 119pncan3d 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))) = (𝑥𝑏))
121120mpteq2dva 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
122 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝐼𝑉)
123 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑𝑏) ∈ V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ V)
125 ovexd 6640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)) ∈ V)
126113feqmptd 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑑𝑏)))
127 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝑏) ∈ V
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ V)
129117feqmptd 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
130122, 128, 124, 129, 126offval2 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑥𝑓𝑑) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))))
131122, 124, 125, 126, 130offval2 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑)) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))))
132121, 131, 1293eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑)) = 𝑥)
13360, 27, 61, 132syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑)) = 𝑥)
134133fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑))) = (𝐻𝑥))
135111, 134eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) = (𝐻𝑥))
136135breq1d 4628 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
137109, 136sylibd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) → (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
138102, 105lenltd 10135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < (𝐻𝑑)))
139103, 107lenltd 10135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
140138, 139anbi12d 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))))
141 ioran 511 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
142140, 141syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))))
14341, 61ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
144143nn0red 11304 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ)
14535, 78nn0addcld 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
146145ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
147146nn0red 11304 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
148144, 147lenltd 10135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
149137, 142, 1483imtr3d 282 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
150101, 149mt4d 152 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
15172, 100, 150mpjaodan 826 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
152151mpteq2dva 4709 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅)))
153152oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅))))
154 ringmnd 18488 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
15554, 154syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
156155adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → 𝑅 ∈ Mnd)
157 ovex 6638 . . . . . . . 8 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1585, 157rab2ex 4781 . . . . . . 7 {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∈ V
15923gsumz 17306 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
160156, 158, 159sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
161153, 160eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))) = (0g𝑅))
16210, 21, 1613eqtrd 2659 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))
163162expr 642 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
164163ralrimiva 2961 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
1651mplring 19384 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
16638, 54, 165syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
1672, 4ringcl 18493 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
168166, 6, 7, 167syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
16934, 145sseldi 3585 . . 3 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
17022, 1, 2, 23, 5, 24mdegleb 23745 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
171168, 169, 170syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
172164, 171mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3189   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  cima 5082  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  𝑟 cofr 6856  𝑚 cmap 7809  Fincfn 7907  cr 9887   + caddc 9891  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  cn 10972  0cn0 11244  Basecbs 15792  .rcmulr 15874  0gc0g 16032   Σg cgsu 16033  Mndcmnd 17226  Ringcrg 18479   mPoly cmpl 19285  fldccnfld 19678   mDeg cmdg 23734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-subrg 18710  df-psr 19288  df-mpl 19290  df-cnfld 19679  df-mdeg 23736
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  23760
  Copyright terms: Public domain W3C validator