MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegpropd 23782
Description: Property deduction for polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
mdegpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
mdegpropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
mdegpropd (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mdegpropd
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegpropd.b1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 mdegpropd.b2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
3 mdegpropd.p . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
41, 2, 3mplbaspropd 19547 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
51, 2, 3grpidpropd 17201 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑆))
65oveq2d 6631 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐 supp (0g𝑅)) = (𝑐 supp (0g𝑆)))
76imaeq2d 5435 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))) = ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))))
87supeq1d 8312 . . 3 (𝜑 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))), ℝ*, < ))
94, 8mpteq12dv 4703 . 2 (𝜑 → (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))), ℝ*, < )) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))), ℝ*, < )))
10 eqid 2621 . . 3 (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑅)
11 eqid 2621 . . 3 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12 eqid 2621 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
13 eqid 2621 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
14 eqid 2621 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
15 eqid 2621 . . 3 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
1610, 11, 12, 13, 14, 15mdegfval 23760 . 2 (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
17 eqid 2621 . . 3 (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝐼 mDeg 𝑆)
18 eqid 2621 . . 3 (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
19 eqid 2621 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
20 eqid 2621 . . 3 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2117, 18, 19, 20, 14, 15mdegfval 23760 . 2 (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g𝑆))), ℝ*, < ))
229, 16, 213eqtr4g 2680 1 (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912  cmpt 4683  ccnv 5083  cima 5087  cfv 5857  (class class class)co 6615   supp csupp 7255  𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915  supcsup 8306  *cxr 10033   < clt 10034  cn 10980  0cn0 11252  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041   mPoly cmpl 19293  fldccnfld 19686   mDeg cmdg 23751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-tset 15900  df-0g 16042  df-psr 19296  df-mpl 19298  df-mdeg 23753
This theorem is referenced by:  deg1propd  23784
  Copyright terms: Public domain W3C validator