Theorem mdegvsca 24664

Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvsca.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
mdegvsca.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
mdegvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
mdegvsca.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegvsca	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem mdegvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegvsca.p	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		mdegvsca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mdegvsca.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
8	7, 3	rrgss 20059	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
9		mdegvsca.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	8, 9	sseldi 3964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
11		mdegvsca.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mplvsca 20221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺))
13	12	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)))
14		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		ovex 7183	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	15	rabex 5227	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18		mdegaddle.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 3, 4, 6, 11	mplelf 20207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20	7, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19	rrgsupp 20058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
21	13, 20	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
22	21	imaeq2d 5923	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))))
23	22	supeq1d 8904	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
24		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	1	mpllmod 20225	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
26	24, 18, 25	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
27	1, 24, 18	mplsca 20219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
28	27	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
29	10, 28	eleqtrd 2915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
30		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
31		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
32	4, 30, 2, 31	lmodvscl 19645	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
33	26, 29, 11, 32	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
34		mdegaddle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
35		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
36	34, 1, 4, 14, 6, 35	mdegval 24651	. . 3 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
37	33, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
38	34, 1, 4, 14, 6, 35	mdegval 24651	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
39	11, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
40	23, 37, 39	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3494  {csn 4560   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547  ^◡ccnv 5548   “ cima 5552  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∘_f cof 7401   supp csupp 7824   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503  supcsup 8898  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  Basecbs 16477  ._rcmulr 16560  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  0_gc0g 16707   Σ_g cgsu 16708  Ringcrg 19291  LModclmod 19628  RLRegcrlreg 20046   mPoly cmpl 20127  ℂ_fldccnfld 20539   mDeg cmdg 24641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-rlreg 20050  df-psr 20130  df-mpl 20132  df-mdeg 24643

This theorem is referenced by:  deg1vsca  24693