Theorem mdegvsca 23740

Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvsca.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
mdegvsca.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
mdegvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
mdegvsca.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegvsca	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem mdegvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegvsca.p	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2621	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		mdegvsca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2621	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2621	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mdegvsca.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
8	7, 3	rrgss 19211	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
9		mdegvsca.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	8, 9	sseldi 3581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
11		mdegvsca.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mplvsca 19366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝐺))
13	12	oveq1d 6619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)))
14		eqid 2621	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		ovex 6632	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
16	15	rabex 4773	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18		mdegaddle.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 3, 4, 6, 11	mplelf 19352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20	7, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19	rrgsupp 19210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
21	13, 20	eqtrd 2655	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
22	21	imaeq2d 5425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))))
23	22	supeq1d 8296	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
24		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	1	mpllmod 19370	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
26	24, 18, 25	syl2anc 692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
27	1, 24, 18	mplsca 19364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
28	27	fveq2d 6152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
29	10, 28	eleqtrd 2700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
30		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
31		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
32	4, 30, 2, 31	lmodvscl 18801	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
33	26, 29, 11, 32	syl3anc 1323	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
34		mdegaddle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
35		eqid 2621	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
36	34, 1, 4, 14, 6, 35	mdegval 23727	. . 3 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
37	33, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
38	34, 1, 4, 14, 6, 35	mdegval 23727	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
39	11, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
40	23, 37, 39	3eqtr4d 2665	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186  {csn 4148   ↦ cmpt 4673   × cxp 5072  ^◡ccnv 5073   “ cima 5077  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ∘_𝑓 cof 6848   supp csupp 7240   ↑_𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899  supcsup 8290  ℝ^*cxr 10017   < clt 10018  ℕcn 10964  ℕ₀cn0 11236  Basecbs 15781  ._rcmulr 15863  Scalarcsca 15865   ·_𝑠 cvsca 15866  0_gc0g 16021   Σ_g cgsu 16022  Ringcrg 18468  LModclmod 18784  RLRegcrlreg 19198   mPoly cmpl 19272  ℂ_fldccnfld 19665   mDeg cmdg 23717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-rlreg 19202  df-psr 19275  df-mpl 19277  df-mdeg 23719

This theorem is referenced by:  deg1vsca  23769