Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegxrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegxrf 23873
 Description: Functionality of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegxrcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegxrf 𝐷:𝐵⟶ℝ*

Proof of Theorem mdegxrf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12012 . . . 4 < Or ℝ*
21supex 8410 . . 3 sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ V
3 mdegxrcl.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4 mdegxrcl.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5 mdegxrcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 eqid 2651 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7 eqid 2651 . . . 4 {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
8 eqid 2651 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
93, 4, 5, 6, 7, 8mdegfval 23867 . . 3 𝐷 = (𝑧𝐵 ↦ sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝑧 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
102, 9fnmpti 6060 . 2 𝐷 Fn 𝐵
113, 4, 5mdegxrcl 23872 . . 3 (𝑓𝐵 → (𝐷𝑓) ∈ ℝ*)
1211rgen 2951 . 2 𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ∈ ℝ*
13 ffnfv 6428 . 2 (𝐷:𝐵⟶ℝ* ↔ (𝐷 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ∈ ℝ*))
1410, 12, 13mpbir2an 975 1 𝐷:𝐵⟶ℝ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {crab 2945   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  supcsup 8387  ℝ*cxr 10111   < clt 10112  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148   mPoly cmpl 19401  ℂfldccnfld 19794   mDeg cmdg 23858 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-cnfld 19795  df-mdeg 23860 This theorem is referenced by:  deg1xrf  23886
 Copyright terms: Public domain W3C validator