MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdet0 20352
Description: The determinant of the zero matrix (of dimension greater 0!) is 0. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet0.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet0.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet0.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdet0.z 𝑍 = (0g𝐴)
mdet0.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdet0 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷𝑍) = 0 )

Proof of Theorem mdet0
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3913 . . 3 (𝑁 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖𝑁)
2 crngring 18498 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32anim1i 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
43ancomd 467 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
54adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
6 mdet0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0g𝐴)
7 mdet0.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 mdet0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
97, 8mat0op 20165 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
106, 9syl5eq 2667 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑍 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
115, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑍 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
1211fveq2d 6162 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷𝑍) = (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 )))
13 ifid 4103 . . . . . . . . . 10 if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ) = 0
1413eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))
1615mpt2eq3dv 6686 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )))
1716fveq2d 6162 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 )) = (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))))
18 mdet0.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
19 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
21 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
2221adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
23 ringmnd 18496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
242, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Mnd)
2619, 8mndidcl 17248 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
2827adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29283ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
30 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
3118, 19, 8, 20, 22, 29, 30mdetr0 20351 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))) = 0 )
3212, 17, 313eqtrd 2659 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷𝑍) = 0 )
3332ex 450 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖𝑁 → (𝐷𝑍) = 0 ))
3433exlimdv 1858 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (∃𝑖 𝑖𝑁 → (𝐷𝑍) = 0 ))
351, 34syl5bi 232 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ≠ ∅ → (𝐷𝑍) = 0 ))
36353impia 1258 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷𝑍) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  c0 3897  ifcif 4064  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  Fincfn 7915  Basecbs 15800  0gc0g 16040  Mndcmnd 17234  Ringcrg 18487  CRingccrg 18488   Mat cmat 20153   maDet cmdat 20330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-ot 4164  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256  df-s1 13257  df-substr 13258  df-splice 13259  df-reverse 13260  df-s2 13546  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-gim 17641  df-cntz 17690  df-oppg 17716  df-symg 17738  df-pmtr 17802  df-psgn 17851  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-rnghom 18655  df-drng 18689  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-cnfld 19687  df-zring 19759  df-zrh 19792  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-mat 20154  df-mdet 20331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator