MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet0f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdet0f1o 20393
Description: The determinant for 0-dimensional matrices is a one-to-one function from the singleton containing the empty set onto the singleton containing the 1 element of the underlying ring.function x is . (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
mdet0f1o (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)})

Proof of Theorem mdet0f1o
StepHypRef Expression
1 mdet0pr 20392 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r𝑅)⟩})
2 0ex 4788 . . . 4 ∅ ∈ V
3 fvex 6199 . . . 4 (1r𝑅) ∈ V
42, 3f1osn 6174 . . 3 {⟨∅, (1r𝑅)⟩}:{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)}
5 f1oeq1 6125 . . 3 ((∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r𝑅)⟩} → ((∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)} ↔ {⟨∅, (1r𝑅)⟩}:{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)}))
64, 5mpbiri 248 . 2 ((∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r𝑅)⟩} → (∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)})
71, 6syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  c0 3913  {csn 4175  cop 4181  1-1-ontowf1o 5885  cfv 5886  (class class class)co 6647  1rcur 18495  Ringcrg 18541   maDet cmdat 20384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1464  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-ot 4184  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-sup 8345  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-word 13294  df-lsw 13295  df-concat 13296  df-s1 13297  df-substr 13298  df-splice 13299  df-reverse 13300  df-s2 13587  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-prds 16102  df-pws 16104  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-mhm 17329  df-submnd 17330  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-mulg 17535  df-subg 17585  df-ghm 17652  df-gim 17695  df-cntz 17744  df-oppg 17770  df-symg 17792  df-pmtr 17856  df-psgn 17905  df-evpm 17906  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-cring 18544  df-oppr 18617  df-dvdsr 18635  df-unit 18636  df-invr 18666  df-dvr 18677  df-rnghom 18709  df-drng 18743  df-subrg 18772  df-sra 19166  df-rgmod 19167  df-cnfld 19741  df-zring 19813  df-zrh 19846  df-dsmm 20070  df-frlm 20085  df-mat 20208  df-mdet 20385
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator