MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetero Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetero 20335
Description: The determinant function is multilinear (additive and homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetero.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetero.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetero.p + = (+g𝑅)
mdetero.t · = (.r𝑅)
mdetero.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetero.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetero.x ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetero.y ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetero.z ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
mdetero.w (𝜑𝑊𝐾)
mdetero.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetero.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetero.ij (𝜑𝐼𝐽)
Assertion
Ref Expression
mdetero (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑖,𝐽,𝑗   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑊,𝑗   · ,𝑖,𝑗   + ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetero
StepHypRef Expression
1 mdetero.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetero.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 mdetero.p . . 3 + = (+g𝑅)
4 mdetero.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5 mdetero.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
6 mdetero.x . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
763adant2 1078 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
8 crngring 18479 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
94, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetero.w . . . . 5 (𝜑𝑊𝐾)
12113ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑊𝐾)
13 mdetero.y . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
14133adant2 1078 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
15 mdetero.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
162, 15ringcl 18482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝐾𝑌𝐾) → (𝑊 · 𝑌) ∈ 𝐾)
1710, 12, 14, 16syl3anc 1323 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑊 · 𝑌) ∈ 𝐾)
18 mdetero.z . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
1914, 18ifcld 4103 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝐾)
20 mdetero.i . . 3 (𝜑𝐼𝑁)
211, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 19, 20mdetrlin2 20332 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))))
221, 2, 15, 4, 5, 14, 19, 11, 20mdetrsca2 20329 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝑊 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))))
23 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
24 mdetero.j . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑁)
25 mdetero.ij . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐽)
261, 2, 23, 4, 5, 13, 18, 20, 24, 25mdetralt2 20334 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (0g𝑅))
2726oveq2d 6620 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))) = (𝑊 · (0g𝑅)))
282, 15, 23ringrz 18509 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝐾) → (𝑊 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
299, 11, 28syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3022, 27, 293eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (0g𝑅))
3130oveq2d 6620 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)))
32 ringgrp 18473 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
339, 32syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
34 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
35 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
361, 34, 35, 2mdetf 20320 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
374, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
387, 19ifcld 4103 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)) ∈ 𝐾)
3934, 2, 35, 5, 4, 38matbas2d 20148 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
4037, 39ffvelrnd 6316 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) ∈ 𝐾)
412, 3, 23grprid 17374 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
4233, 40, 41syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
4321, 31, 423eqtrd 2659 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  ifcif 4058  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  Fincfn 7899  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469   Mat cmat 20132   maDet cmdat 20309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-reverse 13244  df-s2 13530  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-symg 17719  df-pmtr 17783  df-psgn 17832  df-evpm 17833  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-mat 20133  df-mdet 20310
This theorem is referenced by:  maducoeval2  20365  matunitlindflem1  33034
  Copyright terms: Public domain W3C validator