MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetf 20395
Description: Functionality of the determinant, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetf.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetf.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetf (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)

Proof of Theorem mdetf
Dummy variables 𝑝 𝑐 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 crngring 18552 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 18575 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 mdetf.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 mdetf.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 20212 . . . . . 6 (𝑚𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 475 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
11 eqid 2621 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
12 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
1311, 12symgbasfi 17800 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
152ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
16 zrhpsgnmhm 19924 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
173, 10, 16syl2anc 693 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
18 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1918, 1mgpbas 18489 . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2012, 19mhmf 17334 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2117, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2221ffvelrnda 6357 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
2318crngmgp 18549 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2423ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2510adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
266, 1, 7matbas2i 20222 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐵𝑚 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
2726ad3antlr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
28 elmapi 7876 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3011, 12symgbasf 17798 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
3231ffvelrnda 6357 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
33 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
3429, 32, 33fovrnd 6803 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3534ralrimiva 2965 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑐𝑁 ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3619, 24, 25, 35gsummptcl 18360 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾)
37 eqid 2621 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
381, 37ringcl 18555 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
3915, 22, 36, 38syl3anc 1325 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
4039ralrimiva 2965 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ∀𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
411, 5, 14, 40gsummptcl 18360 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))) ∈ 𝐾)
42 mdetf.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
43 eqid 2621 . . 3 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
44 eqid 2621 . . 3 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
4542, 6, 7, 12, 43, 44, 37, 18mdetfval 20386 . 2 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))))
4641, 45fmptd 6383 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198  cmpt 4727   × cxp 5110  ccom 5116  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  𝑚 cmap 7854  Fincfn 7952  Basecbs 15851  .rcmulr 15936   Σg cgsu 16095   MndHom cmhm 17327  SymGrpcsymg 17791  pmSgncpsgn 17903  CMndccmn 18187  mulGrpcmgp 18483  Ringcrg 18541  CRingccrg 18542  ℤRHomczrh 19842   Mat cmat 20207   maDet cmdat 20384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1464  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-ot 4184  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-sup 8345  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-word 13294  df-lsw 13295  df-concat 13296  df-s1 13297  df-substr 13298  df-splice 13299  df-reverse 13300  df-s2 13587  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-prds 16102  df-pws 16104  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-mhm 17329  df-submnd 17330  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-mulg 17535  df-subg 17585  df-ghm 17652  df-gim 17695  df-cntz 17744  df-oppg 17770  df-symg 17792  df-pmtr 17856  df-psgn 17905  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-cring 18544  df-oppr 18617  df-dvdsr 18635  df-unit 18636  df-invr 18666  df-dvr 18677  df-rnghom 18709  df-drng 18743  df-subrg 18772  df-sra 19166  df-rgmod 19167  df-cnfld 19741  df-zring 19813  df-zrh 19846  df-dsmm 20070  df-frlm 20085  df-mat 20208  df-mdet 20385
This theorem is referenced by:  mdetcl  20396  mdetr0  20405  mdetero  20410  mdetuni0  20421  mdetmul  20423  maduf  20441  madurid  20444  madulid  20445  matunit  20478  cramerimp  20486
  Copyright terms: Public domain W3C validator