MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrlin 20456
Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrlin.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetrlin.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetrlin.p + = (+g𝑅)
mdetrlin.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrlin.x (𝜑𝑋𝐵)
mdetrlin.y (𝜑𝑌𝐵)
mdetrlin.z (𝜑𝑍𝐵)
mdetrlin.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetrlin.eq (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
mdetrlin.ne1 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
mdetrlin.ne2 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
mdetrlin (𝜑 → (𝐷𝑋) = ((𝐷𝑌) + (𝐷𝑍)))

Proof of Theorem mdetrlin
Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6239 . . . . . 6 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V
2 ovex 6718 . . . . . . 7 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) ∈ V
3 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))
42, 3fnmpti 6060 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 ovex 6718 . . . . . . 7 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ V
6 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
75, 6fnmpti 6060 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))
8 ofmpteq 6958 . . . . . 6 (((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) Fn (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
91, 4, 7, 8mp3an 1464 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
10 mdetrlin.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
11 crngring 18604 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
14 mdetrlin.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
15 mdetrlin.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
16 mdetrlin.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐴)
1715, 16matrcl 20266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1918simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
20 zrhpsgnmhm 19978 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2112, 19, 20syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
23 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
24 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2523, 24mgpbas 18541 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2622, 25mhmf 17387 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
2721, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘𝑅))
2827ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
2923crngmgp 18601 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3010, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3219adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
3315, 24, 16matbas2i 20276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
34 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3514, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3635ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
37 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑟𝑁)
38 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3938, 22symgbasf 17850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
4140ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
4236, 37, 41fovrnd 6848 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑌(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
4342ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟𝑁 (𝑟𝑌(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
4425, 31, 32, 43gsummptcl 18412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
45 mdetrlin.z . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍𝐵)
4615, 24, 16matbas2i 20276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍𝐵𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
47 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4948ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
5049, 37, 41fovrnd 6848 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
5150ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟𝑁 (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
5225, 31, 32, 51gsummptcl 18412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
53 mdetrlin.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝑅)
54 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5524, 53, 54ringdi 18612 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
5613, 28, 44, 52, 55syl13anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
57 cmnmnd 18254 . . . . . . . . . . . . 13 ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5831, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
59 mdetrlin.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑁)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼𝑁)
6135adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6240, 60ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝𝐼) ∈ 𝑁)
6361, 60, 62fovrnd 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑌(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅))
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐼𝑟 = 𝐼)
65 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐼 → (𝑝𝑟) = (𝑝𝐼))
6664, 65oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑌(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
6725, 66gsumsn 18400 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑌(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
6858, 60, 63, 67syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
6968, 63eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
7048adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
7170, 60, 62fovrnd 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅))
7264, 65oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
7325, 72gsumsn 18400 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
7458, 60, 71, 73syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
7574, 71eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
76 difssd 3771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁)
77 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
7832, 76, 77syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
79 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟𝑁)
80 mdetrlin.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋𝐵)
8115, 24, 16matbas2i 20276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
82 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8380, 81, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8483ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8584, 37, 41fovrnd 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
8679, 85sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
8786ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑋(𝑝𝑟)) ∈ (Base‘𝑅))
8825, 31, 78, 87gsummptcl 18412 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))
8924, 53, 54ringdir 18613 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
9013, 69, 75, 88, 89syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
9123, 54mgpplusg 18539 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
92 disjdif 4073 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅)
9459snssd 4372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
96 undif 4082 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
9795, 96sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
9897eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})))
9925, 91, 31, 32, 85, 93, 98gsummptfidmsplit 18376 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
100 mdetrlin.eq . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
102101oveqd 6707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)))
103 xpss1 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
10495, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
10561, 104fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
106 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
10870, 104fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
109 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)):({𝐼} × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
111 snex 4938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐼} ∈ V
112 xpexg 7002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝐼} ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ V)
113111, 32, 112sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ V)
114 snidg 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼})
11560, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
116 opelxp 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁) ↔ (𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁))
117115, 62, 116sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
118 fnfvof 6953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁) ∧ (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁)) ∧ (({𝐼} × 𝑁) ∈ V ∧ ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))) → (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
119107, 110, 113, 117, 118syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
120 df-ov 6693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
121 df-ov 6693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = ((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
122 df-ov 6693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
123121, 122oveq12i 6702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = (((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) + ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩))
124119, 120, 1233eqtr4g 2710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
125102, 124eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
126 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
127115, 62, 126syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
128 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
129115, 62, 128syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑌(𝑝𝐼)))
130 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
131115, 62, 130syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
132129, 131oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼(𝑌 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) + (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = ((𝐼𝑌(𝑝𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
133125, 127, 1323eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) = ((𝐼𝑌(𝑝𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
13483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
135134, 60, 62fovrnd 6848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅))
13664, 65oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
13725, 136gsumsn 18400 . . . . . . . . . . . . 13 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
13858, 60, 135, 137syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
13968, 74oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝐼𝑌(𝑝𝐼)) + (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
140133, 138, 1393eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
141140oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
14299, 141eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
14325, 91, 31, 32, 42, 93, 98gsummptfidmsplit 18376 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))
144 mdetrlin.ne1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
145144ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
146145oveqd 6707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
147 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
14879, 41sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
149 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
150147, 148, 149syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
151 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))
152147, 148, 151syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑌 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))
153146, 150, 1523eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑌(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
154153mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))
155154oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))
156155oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
157143, 156eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
15825, 91, 31, 32, 50, 93, 98gsummptfidmsplit 18376 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
159 mdetrlin.ne2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
160159ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
161160oveqd 6707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
162 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
163147, 148, 162syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
164161, 150, 1633eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
165164mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))
166165oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))
167166oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
168158, 167eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
169157, 168oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) + (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
17090, 142, 1693eqtr4rd 2696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))
171170oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) + ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
17256, 171eqtr3d 2687 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
173172mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) + ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
1749, 173syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑 → ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))))
175174oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
176 ringcmn 18627 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
17710, 11, 1763syl 18 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
17838, 22symgbasfi 17852 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
17919, 178syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
18024, 54ringcl 18607 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
18113, 28, 44, 180syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
18224, 54ringcl 18607 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
18313, 28, 52, 182syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ (Base‘𝑅))
18424, 53, 177, 179, 181, 183, 3, 6gsummptfidmadd2 18372 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟)))))) ∘𝑓 + (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
185175, 184eqtr3d 2687 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
186 mdetrlin.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
187 eqid 2651 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
188 eqid 2651 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
189186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23mdetleib2 20442 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
19010, 80, 189syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
191186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23mdetleib2 20442 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌𝐵) → (𝐷𝑌) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))))
19210, 14, 191syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑌) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))))
193186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23mdetleib2 20442 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍𝐵) → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
19410, 45, 193syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
195192, 194oveq12d 6708 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑌) + (𝐷𝑍)) = ((𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑌(𝑝𝑟))))))) + (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
196185, 190, 1953eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (𝐷𝑋) = ((𝐷𝑌) + (𝐷𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  cmpt 4762   × cxp 5141  cres 5145  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341   MndHom cmhm 17380  SymGrpcsymg 17843  pmSgncpsgn 17955  CMndccmn 18239  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  ℤRHomczrh 19896   Mat cmat 20261   maDet cmdat 20438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-xor 1505  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-reverse 13337  df-s2 13639  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-symg 17844  df-pmtr 17908  df-psgn 17957  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mat 20262  df-mdet 20439
This theorem is referenced by:  mdetrlin2  20461  mdetuni0  20475  mdetmul  20477
  Copyright terms: Public domain W3C validator