MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrlin2 20327
Description: The determinant function is additive for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin2.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrlin2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrlin2.p + = (+g𝑅)
mdetrlin2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrlin2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetrlin2.x ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetrlin2.y ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetrlin2.z ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
mdetrlin2.i (𝜑𝐼𝑁)
Assertion
Ref Expression
mdetrlin2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   + ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrlin2
StepHypRef Expression
1 mdetrlin2.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2626 . 2 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2626 . 2 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 mdetrlin2.p . 2 + = (+g𝑅)
5 mdetrlin2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 mdetrlin2.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 mdetrlin2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 crngring 18474 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetrlin2.x . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
12 mdetrlin2.y . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
136, 4ringacl 18494 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
15 mdetrlin2.z . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
1614, 15ifcld 4108 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) ∈ 𝐾)
172, 6, 3, 7, 5, 16matbas2d 20143 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
1811, 15ifcld 4108 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) ∈ 𝐾)
192, 6, 3, 7, 5, 18matbas2d 20143 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
2012, 15ifcld 4108 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝐾)
212, 6, 3, 7, 5, 20matbas2d 20143 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
22 mdetrlin2.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
23 snex 4874 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
2522snssd 4314 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
26253ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
27 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖 ∈ {𝐼})
2826, 27sseldd 3589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2928, 11syld3an2 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
3028, 12syld3an2 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
31 eqidd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
32 eqidd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌))
3324, 7, 29, 30, 31, 32offval22 7199 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) ∘𝑓 + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)))
3433eqcomd 2632 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) ∘𝑓 + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌)))
35 mpt2snif 6708 . . . 4 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝑋 + 𝑌))
36 mpt2snif 6708 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)
37 mpt2snif 6708 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌)
3836, 37oveq12i 6617 . . . 4 ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘𝑓 + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) ∘𝑓 + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑌))
3934, 35, 383eqtr4g 2685 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘𝑓 + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
40 ssid 3608 . . . 4 𝑁𝑁
41 resmpt2 6712 . . . 4 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
4225, 40, 41sylancl 693 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
43 resmpt2 6712 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
4425, 40, 43sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
45 resmpt2 6712 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
4625, 40, 45sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
4744, 46oveq12d 6623 . . 3 (𝜑 → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ∘𝑓 + (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))))
4839, 42, 473eqtr4d 2670 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) ∘𝑓 + ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
49 eldifsni 4294 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖𝐼)
5049neneqd 2801 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
51 iffalse 4072 . . . . . . 7 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = 𝑍)
52 iffalse 4072 . . . . . . 7 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍) = 𝑍)
5351, 52eqtr4d 2663 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
5450, 53syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
55543ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
5655mpt2eq3dva 6673 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
57 difss 3720 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
58 resmpt2 6712 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)))
5957, 40, 58mp2an 707 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))
60 resmpt2 6712 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)))
6157, 40, 60mp2an 707 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))
6256, 59, 613eqtr4g 2685 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
63 iffalse 4072 . . . . . . 7 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍) = 𝑍)
6451, 63eqtr4d 2663 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
6550, 64syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
66653ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
6766mpt2eq3dva 6673 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
68 resmpt2 6712 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))
6957, 40, 68mp2an 707 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍))
7067, 59, 693eqtr4g 2685 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
711, 2, 3, 4, 5, 17, 19, 21, 22, 48, 62, 70mdetrlin 20322 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + 𝑌), 𝑍))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑍))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, 𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  cdif 3557  wss 3560  ifcif 4063  {csn 4153   × cxp 5077  cres 5081  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  𝑓 cof 6849  Fincfn 7900  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  Ringcrg 18463  CRingccrg 18464   Mat cmat 20127   maDet cmdat 20304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-word 13233  df-lsw 13234  df-concat 13235  df-s1 13236  df-substr 13237  df-splice 13238  df-reverse 13239  df-s2 13525  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-prds 16024  df-pws 16026  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-gim 17617  df-cntz 17666  df-oppg 17692  df-symg 17714  df-pmtr 17778  df-psgn 17827  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-rnghom 18631  df-drng 18665  df-subrg 18694  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-cnfld 19661  df-zring 19733  df-zrh 19766  df-dsmm 19990  df-frlm 20005  df-mat 20128  df-mdet 20305
This theorem is referenced by:  mdetero  20330  madugsum  20363
  Copyright terms: Public domain W3C validator