MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetuni 20185
Description: According to the definition in [Weierstrass] p. 272, the determinant function is the unique multilinear, alternating and normalized function from the algebra of square matrices of the same dimension over a commutative ring to this ring. So for any multilinear (mdetuni.li and mdetuni.sc), alternating (mdetuni.al) and normalized (mdetuni.no) function D (mdetuni.ff) from the algebra of square matrices (mdetuni.a) to their underlying commutative ring (mdetuni.cr), the function value of this function D for a matrix F (mdetuni.f) is the determinant of this matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jul-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetuni.e 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetuni.cr (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetuni.f (𝜑𝐹𝐵)
mdetuni.no (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 1 )
Assertion
Ref Expression
mdetuni (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝐸𝐹))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, + ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 1 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤

Proof of Theorem mdetuni
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mdetuni.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 mdetuni.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdetuni.0g . . 3 0 = (0g𝑅)
5 mdetuni.1r . . 3 1 = (1r𝑅)
6 mdetuni.pg . . 3 + = (+g𝑅)
7 mdetuni.tg . . 3 · = (.r𝑅)
8 mdetuni.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
9 mdetuni.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 mdetuni.ff . . 3 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
11 mdetuni.al . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
12 mdetuni.li . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
13 mdetuni.sc . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
14 mdetuni.e . . 3 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
15 mdetuni.cr . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
16 mdetuni.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16mdetuni0 20184 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) = ((𝐷‘(1r𝐴)) · (𝐸𝐹)))
18 mdetuni.no . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 1 )
1918oveq1d 6538 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(1r𝐴)) · (𝐸𝐹)) = ( 1 · (𝐸𝐹)))
2014, 1, 2, 3mdetcl 20159 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐹𝐵) → (𝐸𝐹) ∈ 𝐾)
2115, 16, 20syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ 𝐾)
223, 7, 5ringlidm 18336 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸𝐹) ∈ 𝐾) → ( 1 · (𝐸𝐹)) = (𝐸𝐹))
239, 21, 22syl2anc 690 . 2 (𝜑 → ( 1 · (𝐸𝐹)) = (𝐸𝐹))
2417, 19, 233eqtrd 2643 1 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝐸𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  cdif 3532  {csn 4120   × cxp 5022  cres 5026  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑓 cof 6766  Fincfn 7814  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  .rcmulr 15711  0gc0g 15865  1rcur 18266  Ringcrg 18312  CRingccrg 18313   Mat cmat 19970   maDet cmdat 20147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-xor 1456  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-sup 8204  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-word 13096  df-lsw 13097  df-concat 13098  df-s1 13099  df-substr 13100  df-splice 13101  df-reverse 13102  df-s2 13386  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-prds 15873  df-pws 15875  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-gim 17466  df-cntz 17515  df-oppg 17541  df-symg 17563  df-pmtr 17627  df-psgn 17676  df-evpm 17677  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-srg 18271  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-rnghom 18480  df-drng 18514  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-cnfld 19510  df-zring 19580  df-zrh 19612  df-dsmm 19833  df-frlm 19848  df-mamu 19947  df-mat 19971  df-mdet 20148
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator