Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem7 20646
 Description: Lemma for mdetuni 20650. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
Assertion
Ref Expression
mdetunilem7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem7
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6352 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝑎) = (𝑑𝑎))
21oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
32mpt2eq3dv 6887 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
43fveq2d 6357 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
5 fveq2 6353 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑))
65oveq1d 6829 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹)))
74, 6eqeq12d 2775 . 2 (𝑐 = 𝑑 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
8 fveq1 6352 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (𝑐𝑎) = ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎))
98oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))
109mpt2eq3dv 6887 . . . 4 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏)))
1110fveq2d 6357 . . 3 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))))
12 fveq2 6353 . . . 4 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)))
1312oveq1d 6829 . . 3 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
1411, 13eqeq12d 2775 . 2 (𝑐 = (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹))))
15 fveq1 6352 . . . . . 6 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (𝑐𝑎) = ((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎))
1615oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))
1716mpt2eq3dv 6887 . . . 4 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏)))
1817fveq2d 6357 . . 3 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))))
19 fveq2 6353 . . . 4 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
2019oveq1d 6829 . . 3 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹)))
2118, 20eqeq12d 2775 . 2 (𝑐 = (0g‘(SymGrp‘𝑁)) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹))))
22 fveq1 6352 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐸 → (𝑐𝑎) = (𝐸𝑎))
2322oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 → ((𝑐𝑎)𝐹𝑏) = ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))
2423mpt2eq3dv 6887 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏)))
2524fveq2d 6357 . . 3 (𝑐 = 𝐸 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))))
26 fveq2 6353 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸))
2726oveq1d 6829 . . 3 (𝑐 = 𝐸 → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹)))
2825, 27eqeq12d 2775 . 2 (𝑐 = 𝐸 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑐𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑐) · (𝐷𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹))))
29 eqid 2760 . 2 (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
30 eqid 2760 . 2 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
31 eqid 2760 . 2 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
32 mdetuni.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
33323ad2ant1 1128 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
34 eqid 2760 . . . 4 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
3534symggrp 18040 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
36 grpmnd 17650 . . 3 ((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp → (SymGrp‘𝑁) ∈ Mnd)
3733, 35, 363syl 18 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Mnd)
38 eqid 2760 . . . 4 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
3938, 34, 31symgtrf 18109 . . 3 ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
4039a1i 11 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ran (pmTrsp‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
41 eqid 2760 . . . . . 6 (mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁))) = (mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))
4238, 34, 31, 41symggen2 18111 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
4332, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
4443eqcomd 2766 . . 3 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)))
45443ad2ant1 1128 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ((mrCls‘(SubMnd‘(SymGrp‘𝑁)))‘ran (pmTrsp‘𝑁)))
46 mdetuni.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47463ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
48 mdetuni.ff . . . . . 6 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
49483ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐷:𝐵𝐾)
50 simp3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹𝐵)
5149, 50ffvelrnd 6524 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷𝐹) ∈ 𝐾)
52 mdetuni.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
53 mdetuni.tg . . . . 5 · = (.r𝑅)
54 mdetuni.1r . . . . 5 1 = (1r𝑅)
5552, 53, 54ringlidm 18791 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝐹) ∈ 𝐾) → ( 1 · (𝐷𝐹)) = (𝐷𝐹))
5647, 51, 55syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ( 1 · (𝐷𝐹)) = (𝐷𝐹))
57 zrhpsgnmhm 20152 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
5846, 32, 57syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
59 eqid 2760 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6059, 54ringidval 18723 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
6129, 60mhm0 17564 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = 1 )
6258, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = 1 )
63623ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = 1 )
6463oveq1d 6829 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹)) = ( 1 · (𝐷𝐹)))
6534symgid 18041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
6632, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
67663ad2ant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
68673ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
6968fveq1d 6355 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑎) = ((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎))
70 simp2 1132 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
71 fvresi 6604 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑎) = 𝑎)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑎) = 𝑎)
7369, 72eqtr3d 2796 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎) = 𝑎)
7473oveq1d 6829 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏) = (𝑎𝐹𝑏))
7574mpt2eq3dva 6885 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑎𝐹𝑏)))
76 mdetuni.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
77 mdetuni.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
7876, 52, 77matbas2i 20450 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐹 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
79783ad2ant3 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
80 elmapi 8047 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
81 ffn 6206 . . . . . . 7 (𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾𝐹 Fn (𝑁 × 𝑁))
8279, 80, 813syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹 Fn (𝑁 × 𝑁))
83 fnov 6934 . . . . . 6 (𝐹 Fn (𝑁 × 𝑁) ↔ 𝐹 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑎𝐹𝑏)))
8482, 83sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑎𝐹𝑏)))
8575, 84eqtr4d 2797 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏)) = 𝐹)
8685fveq2d 6357 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷𝐹))
8756, 64, 863eqtr4rd 2805 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((0g‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) · (𝐷𝐹)))
88 simp2 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
8939sseli 3740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
90893ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
9134, 31, 30symgov 18030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) = (𝑑𝑒))
9288, 90, 91syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒) = (𝑑𝑒))
9392fveq1d 6355 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎) = ((𝑑𝑒)‘𝑎))
94933ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎) = ((𝑑𝑒)‘𝑎))
9534, 31symgbasf1o 18023 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑒:𝑁1-1-onto𝑁)
96 f1of 6299 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒:𝑁1-1-onto𝑁𝑒:𝑁𝑁)
9790, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒:𝑁𝑁)
98973ad2ant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑒:𝑁𝑁)
99 simp2 1132 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
100 fvco3 6438 . . . . . . . . . 10 ((𝑒:𝑁𝑁𝑎𝑁) → ((𝑑𝑒)‘𝑎) = (𝑑‘(𝑒𝑎)))
10198, 99, 100syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑𝑒)‘𝑎) = (𝑑‘(𝑒𝑎)))
10294, 101eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎) = (𝑑‘(𝑒𝑎)))
103102oveq1d 6829 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))
104103mpt2eq3dva 6885 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏)))
105104fveq2d 6357 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))))
10634, 31symgbasf 18024 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑑:𝑁𝑁)
107 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
108107, 38pmtrrn2 18100 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → ∃𝑐𝑁𝑓𝑁 (𝑐𝑓𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})))
109 mdetuni.0g . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0g𝑅)
110 mdetuni.pg . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+g𝑅)
111 mdetuni.al . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
112 mdetuni.li . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
113 mdetuni.sc . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
114 simpll1 1255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝜑)
115 df-3an 1074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓) ↔ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓))
116115biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓) → (𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓))
117116adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓))
11879, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
120119ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
121 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑑:𝑁𝑁)
122 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑓𝑁)
123122adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑓𝑁)
124121, 123ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → (𝑑𝑓) ∈ 𝑁)
125 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
126120, 124, 125fovrnd 6972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → ((𝑑𝑓)𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
127 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑐𝑁)
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑐𝑁)
129121, 128ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → (𝑑𝑐) ∈ 𝑁)
130120, 129, 125fovrnd 6972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → ((𝑑𝑐)𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
131126, 130jca 555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑏𝑁) → (((𝑑𝑓)𝐹𝑏) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑑𝑐)𝐹𝑏) ∈ 𝐾))
132118ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
1331323ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐹:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
134 simp1lr 1304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑑:𝑁𝑁)
135 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
136134, 135ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑑𝑎) ∈ 𝑁)
137 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
138133, 136, 137fovrnd 6972 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
13976, 77, 52, 109, 54, 110, 53, 32, 46, 48, 111, 112, 113, 114, 117, 131, 138mdetunilem6 20645 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))))
140 simpl1 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → 𝜑)
141 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑐 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐))
14232adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑁 ∈ Fin)
143 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑐𝑁)
144 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑓𝑁)
145 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → 𝑐𝑓)
146107pmtrprfv 18093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑐𝑁𝑓𝑁𝑐𝑓)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐) = 𝑓)
147142, 143, 144, 145, 146syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐) = 𝑓)
148147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑐) = 𝑓)
149141, 148sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑓)
150149fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)) = (𝑑𝑓))
151150oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
152 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
153152adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
154151, 153eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
155 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑓 → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑓))
156 prcom 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 {𝑐, 𝑓} = {𝑓, 𝑐}
157156fveq2i 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})
158157fveq1i 6354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑓) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})‘𝑓)
15932ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
160 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑐𝑁𝑓𝑁))
161160simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑓𝑁)
162160simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑐𝑁)
163 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑐𝑓)
164163necomd 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑓𝑐)
165107pmtrprfv 18093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑓𝑁𝑐𝑁𝑓𝑐)) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})‘𝑓) = 𝑐)
166159, 161, 162, 164, 165syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑓, 𝑐})‘𝑓) = 𝑐)
167158, 166syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑓) = 𝑐)
168155, 167sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑐)
169168fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)) = (𝑑𝑐))
170169oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
171 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
172171adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
173170, 172eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
174173adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
175 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑎 ∈ V
176175elpr 4343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓} ↔ (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓))
177176notbii 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓} ↔ ¬ (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓))
178 ioran 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (¬ (𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓) ↔ (¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓))
179177, 178sylbbr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓})
180179adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓})
181 prssi 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐𝑁𝑓𝑁) → {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁)
182160, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁)
183 pr2ne 9038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐𝑁𝑓𝑁) → ({𝑐, 𝑓} ≈ 2𝑜𝑐𝑓))
184160, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑐, 𝑓} ≈ 2𝑜𝑐𝑓))
185163, 184mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → {𝑐, 𝑓} ≈ 2𝑜)
186107pmtrmvd 18096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁 ∧ {𝑐, 𝑓} ≈ 2𝑜) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) = {𝑐, 𝑓})
187159, 182, 185, 186syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) = {𝑐, 𝑓})
188187eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓}))
189188notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → (¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓}))
190189ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → (¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐, 𝑓}))
191180, 190mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ))
192107pmtrf 18095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ Fin ∧ {𝑐, 𝑓} ⊆ 𝑁 ∧ {𝑐, 𝑓} ≈ 2𝑜) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}):𝑁𝑁)
193159, 182, 185, 192syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}):𝑁𝑁)
194 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}):𝑁𝑁 → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁)
195193, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁)
196 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑎𝑁)
197 fnelnfp 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁𝑎𝑁) → (𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I ) ↔ (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) ≠ 𝑎))
198197necon2bbid 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) Fn 𝑁𝑎𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I )))
199195, 196, 198syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I )))
200199ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ dom (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) ∖ I )))
201191, 200mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎) = 𝑎)
202201fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)) = (𝑑𝑎))
203202oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
204 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
205204adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
206203, 205eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
207174, 206pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
208 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
209208adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
210207, 209eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑐) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
211154, 210pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
2122113adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
213212mpt2eq3dva 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
214140, 213sylan 489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
215214fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
216 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑐 → (𝑑𝑎) = (𝑑𝑐))
217216oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
218 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((𝑑𝑐)𝐹𝑏))
219217, 218eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
220 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑓 → (𝑑𝑎) = (𝑑𝑓))
221220oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑓 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
222 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑓)𝐹𝑏))
223221, 222eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑓 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
224223adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑓) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
225 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑎 = 𝑓 → if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))
226225eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑎 = 𝑓 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
227226adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑎 = 𝑐 ∧ ¬ 𝑎 = 𝑓) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
228224, 227pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
229 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
230228, 229eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑎 = 𝑐 → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
231219, 230pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑑𝑎)𝐹𝑏) = if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
233232mpt2eq3ia 6886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))
234233fveq2i 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
235234fveq2i 6356 . . . . . . . . . . . . . 14 ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, ((𝑑𝑐)𝐹𝑏), if(𝑎 = 𝑓, ((𝑑𝑓)𝐹𝑏), ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))))
237139, 215, 2363eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
238 fveq1 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝑒𝑎) = (((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))
239238fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝑑‘(𝑒𝑎)) = (𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎)))
240239oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏) = ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))
241240mpt2eq3dv 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏)))
242241fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))))
243242eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) ↔ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})‘𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
244237, 243syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑓𝑁) ∧ 𝑐𝑓)) → (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
245244expr 644 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑓𝑁)) → (𝑐𝑓 → (𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))))
246245impd 446 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑓𝑁)) → ((𝑐𝑓𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
247246rexlimdvva 3176 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → (∃𝑐𝑁𝑓𝑁 (𝑐𝑓𝑒 = ((pmTrsp‘𝑁)‘{𝑐, 𝑓})) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
248108, 247syl5 34 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁) → (𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))))))
2492483impia 1110 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑:𝑁𝑁𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
250106, 249syl3an2 1168 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑‘(𝑒𝑎))𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
251105, 250eqtrd 2794 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
252251adantr 472 . . 3 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))))
253 fveq2 6353 . . . 4 ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹)) → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
254253adantl 473 . . 3 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏)))) = ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
255 eqid 2760 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
256473ad2ant1 1128 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
257583ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2582573ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
25959, 52mgpbas 18715 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26031, 259mhmf 17561 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
261258, 260syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
262261, 88ffvelrnd 6524 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) ∈ 𝐾)
263493ad2ant1 1128 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝐷:𝐵𝐾)
264 simp13 1248 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝐹𝐵)
265263, 264ffvelrnd 6524 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (𝐷𝐹) ∈ 𝐾)
26652, 53, 255, 256, 262, 265ringmneg1 18816 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)) · (𝐷𝐹)) = ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))))
26759, 53mgpplusg 18713 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
26831, 30, 267mhmlin 17563 . . . . . . . 8 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒)))
269258, 88, 90, 268syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒)))
270333ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
271 simp3 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁))
27234, 31, 38pmtrodpm 20165 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
273270, 271, 272syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → 𝑒 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁)))
274 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
275 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
276274, 275, 54, 31, 255zrhpsgnodpm 20160 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ((Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∖ (pmEven‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒) = ((invg𝑅)‘ 1 ))
277256, 270, 273, 276syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒) = ((invg𝑅)‘ 1 ))
278277oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑒)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · ((invg𝑅)‘ 1 )))
27952, 53, 54, 255, 256, 262rngnegr 18815 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · ((invg𝑅)‘ 1 )) = ((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)))
280269, 278, 2793eqtrrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)))
281280oveq1d 6829 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → (((invg𝑅)‘(((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑)) · (𝐷𝐹)) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
282266, 281eqtr3d 2796 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
283282adantr 472 . . 3 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → ((invg𝑅)‘((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
284252, 254, 2833eqtrd 2798 . 2 ((((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑒 ∈ ran (pmTrsp‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝑑𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑑) · (𝐷𝐹))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (((𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)‘𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(𝑑(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑒)) · (𝐷𝐹)))
285 simp2 1132 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
28634, 31elsymgbas 18022 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
28733, 286syl 17 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
288285, 287mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
2897, 14, 21, 28, 29, 30, 31, 37, 40, 45, 87, 284, 288mrcmndind 17587 1 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁𝐹𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)𝐹𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804   I cid 5173   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↦ cmpt2 6816   ∘𝑓 cof 7061  2𝑜c2o 7724   ↑𝑚 cmap 8025   ≈ cen 8120  Fincfn 8123  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164  0gc0g 16322  mrClscmrc 16465  Mndcmnd 17515   MndHom cmhm 17554  SubMndcsubmnd 17555  Grpcgrp 17643  invgcminusg 17644  SymGrpcsymg 18017  pmTrspcpmtr 18081  pmSgncpsgn 18129  pmEvencevpm 18130  mulGrpcmgp 18709  1rcur 18721  Ringcrg 18767  ℤRHomczrh 20070   Mat cmat 20435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1614  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-concat 13507  df-s1 13508  df-substr 13509  df-splice 13510  df-reverse 13511  df-s2 13813  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-gim 17922  df-oppg 17996  df-symg 18018  df-pmtr 18082  df-psgn 18131  df-evpm 18132  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-rnghom 18937  df-drng 18971  df-subrg 19000  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-cnfld 19969  df-zring 20041  df-zrh 20074  df-dsmm 20298  df-frlm 20313  df-mat 20436 This theorem is referenced by:  mdetunilem8  20647
 Copyright terms: Public domain W3C validator