HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdexchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdexchi 29043
Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdexch.1 𝐴C
mdexch.2 𝐵C
mdexch.3 𝐶C
Assertion
Ref Expression
mdexchi ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem mdexchi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdexch.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶C
2 mdexch.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴C
3 chjass 28241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐴C𝑥C ) → ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
41, 2, 3mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
51, 2chjcli 28165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 𝐴) ∈ C
6 chjcom 28214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C ∧ (𝐶 𝐴) ∈ C ) → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥))
75, 6mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥))
8 chjcl 28065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) ∈ C )
92, 8mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → (𝐴 𝑥) ∈ C )
10 chjcom 28214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 𝑥) ∈ C𝐶C ) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
119, 1, 10sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
124, 7, 113eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶))
1312ineq1d 3791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵))
14 inass 3801 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
15 incom 3783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵))
16 mdexch.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵C
172, 16chjcomi 28176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
1817ineq2i 3789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴))
1916, 2chabs2i 28227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵
2018, 19eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵
2115, 20eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
2221ineq2i 3789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵)
2314, 22eqtri 2643 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵)
2413, 23syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵))
2524ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵))
26 chlej2 28219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥C𝐵C𝐴C ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
2726ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐵C𝐴C ) → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
2816, 2, 27mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
292, 16chjcli 28165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐵) ∈ C
30 mdi 29003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
3130exp32 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
321, 29, 31mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 𝑥) ∈ C → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
339, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3433com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3528, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3635imp31 448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
3736adantrr 752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
381, 29chincli 28168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C
39 chlej2 28219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C𝐴C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴))
4039ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C𝐴C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
4138, 2, 40mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 𝑥) ∈ C → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
429, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
4342imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴))
44 chjcom 28214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 𝑥) ∈ C𝐴C ) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
459, 2, 44sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
462chjidmi 28229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐴) = 𝐴
4746oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
48 chjass 28241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝐴C𝑥C ) → ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
492, 2, 48mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C → ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
50 chjcom 28214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
512, 50mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
5247, 49, 513eqtr3a 2679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → (𝐴 (𝐴 𝑥)) = (𝑥 𝐴))
5345, 52eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝑥 𝐴))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝑥 𝐴))
5543, 54sseqtrd 3620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ (𝑥 𝐴))
5655ad2ant2rl 784 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ (𝑥 𝐴))
5737, 56eqsstrd 3618 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐴))
58 ssrin 3816 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐴) → ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
6025, 59eqsstrd 3618 . . . . . . . . 9 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
6160adantrl 751 . . . . . . . 8 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
62 mdi 29003 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴C𝐵C𝑥C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
6362exp32 630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C𝑥C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
642, 16, 63mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → (𝐴 𝑀 𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6564com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑀 𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6665imp31 448 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
672, 1chub2i 28178 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴)
68 ssrin 3816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)
702, 16chincli 28168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵) ∈ C
715, 16chincli 28168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C
72 chlej2 28219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C𝑥C ) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7372ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
7470, 71, 73mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
7569, 74mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7675ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7766, 76eqsstrd 3618 . . . . . . . . 9 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7877adantrr 752 . . . . . . . 8 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7961, 78sstrd 3593 . . . . . . 7 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
8079exp31 629 . . . . . 6 (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
8180com3r 87 . . . . 5 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
82813impb 1257 . . . 4 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
8382ralrimiv 2959 . . 3 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
84 mdbr2 29004 . . . 4 (((𝐶 𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
855, 16, 84mp2an 707 . . 3 ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
8683, 85sylibr 224 . 2 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵)
871, 2chjcomi 28176 . . . . 5 (𝐶 𝐴) = (𝐴 𝐶)
88 incom 3783 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)
8918, 88, 193eqtr3ri 2652 . . . . 5 𝐵 = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)
9087, 89ineq12i 3790 . . . 4 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
91 inass 3801 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
922, 16chub1i 28177 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
93 mdi 29003 . . . . . . . . . 10 (((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
9493exp32 630 . . . . . . . . 9 ((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
951, 29, 2, 94mp3an 1421 . . . . . . . 8 (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)))))
9692, 95mpi 20 . . . . . . 7 (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
972, 38chjcomi 28176 . . . . . . . 8 (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴)
9838, 2chlejb1i 28184 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴) = 𝐴)
9998biimpi 206 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴) = 𝐴)
10097, 99syl5eq 2667 . . . . . . 7 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = 𝐴)
10196, 100sylan9eq 2675 . . . . . 6 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
102101ineq1d 3791 . . . . 5 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
10391, 102syl5eqr 2669 . . . 4 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)) = (𝐴𝐵))
10490, 103syl5eq 2667 . . 3 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
1051043adant1 1077 . 2 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
10686, 105jca 554 1 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cin 3554  wss 3555   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604   C cch 27635   chj 27639   𝑀 cmd 27672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27705  ax-hfvadd 27706  ax-hvcom 27707  ax-hvass 27708  ax-hv0cl 27709  ax-hvaddid 27710  ax-hfvmul 27711  ax-hvmulid 27712  ax-hvmulass 27713  ax-hvdistr1 27714  ax-hvdistr2 27715  ax-hvmul0 27716  ax-hfi 27785  ax-his1 27788  ax-his2 27789  ax-his3 27790  ax-his4 27791  ax-hcompl 27908
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27196  df-gid 27197  df-ginv 27198  df-gdiv 27199  df-ablo 27248  df-vc 27263  df-nv 27296  df-va 27299  df-ba 27300  df-sm 27301  df-0v 27302  df-vs 27303  df-nmcv 27304  df-ims 27305  df-dip 27405  df-ssp 27426  df-ph 27517  df-cbn 27568  df-hnorm 27674  df-hba 27675  df-hvsub 27677  df-hlim 27678  df-hcau 27679  df-sh 27913  df-ch 27927  df-oc 27958  df-ch0 27959  df-shs 28016  df-chj 28018  df-md 28988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator