HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl0 29367
Description: A sublattice condition that transfers the modular pair property. Exercise 12 of [Kalmbach] p. 103. Also Lemma 1.5.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mdsl0 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) → ((((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐶 𝑀 𝐷))

Proof of Theorem mdsl0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3684 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (𝐷𝐵𝑥𝐵))
21com12 32 . . . . . . 7 (𝐷𝐵 → (𝑥𝐷𝑥𝐵))
32ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑥𝐷𝑥𝐵))
43ad2antlr 765 . . . . 5 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) ∧ 𝑥C ) → (𝑥𝐷𝑥𝐵))
5 chlej2 28568 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶C𝐴C𝑥C ) ∧ 𝐶𝐴) → (𝑥 𝐶) ⊆ (𝑥 𝐴))
6 ss2in 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 𝐶) ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝐷𝐵) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
76ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝐶) ⊆ (𝑥 𝐴) → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶C𝐴C𝑥C ) ∧ 𝐶𝐴) → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
98ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶C𝐴C𝑥C ) → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))))
1093expia 1114 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶C𝐴C ) → (𝑥C → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))))
1110ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝐶C ) → (𝑥C → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))))
1211ad2ant2r 800 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) → (𝑥C → (𝐶𝐴 → (𝐷𝐵 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))))
1312imp43 622 . . . . . . . 8 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
1413adantrr 755 . . . . . . 7 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
15 oveq2 6741 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵) = 0 → (𝑥 (𝐴𝐵)) = (𝑥 0))
16 chj0 28554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → (𝑥 0) = 𝑥)
1715, 16sylan9eqr 2748 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = 𝑥)
1817adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐷C ) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = 𝑥)
19 chincl 28556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶C𝐷C ) → (𝐶𝐷) ∈ C )
20 chub1 28564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶𝐷) ∈ C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2120ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝐷) ∈ C𝑥C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2219, 21sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶C𝐷C ) ∧ 𝑥C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2322adantrr 755 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐷C ) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → 𝑥 ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2418, 23eqsstrd 3713 . . . . . . . . . 10 (((𝐶C𝐷C ) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2524adantll 752 . . . . . . . . 9 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ (𝑥C ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2625anassrs 683 . . . . . . . 8 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
2726adantrl 754 . . . . . . 7 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))
28 sstr2 3684 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
29 sstr2 3684 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
3028, 29syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3130com23 86 . . . . . . 7 (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3214, 27, 31sylc 65 . . . . . 6 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
3332an32s 881 . . . . 5 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) ∧ 𝑥C ) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))
344, 33imim12d 81 . . . 4 (((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) → (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3534ralimdva 3032 . . 3 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) → ∀𝑥C (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
36 mdbr2 29353 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3736ad2antrr 764 . . 3 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
38 mdbr2 29353 . . . 4 ((𝐶C𝐷C ) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
3938ad2antlr 765 . . 3 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐶 𝑀 𝐷 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐷 → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
4035, 37, 393imtr4d 283 . 2 ((((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0)) → (𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 𝐷))
4140expimpd 630 1 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐶C𝐷C )) → ((((𝐶𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐶 𝑀 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1564  wcel 2071  wral 2982  cin 3647  wss 3648   class class class wbr 4728  (class class class)co 6733   C cch 27984   chj 27988  0c0h 27990   𝑀 cmd 28021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-inf2 8619  ax-cc 9338  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095  ax-addf 10096  ax-mulf 10097  ax-hilex 28054  ax-hfvadd 28055  ax-hvcom 28056  ax-hvass 28057  ax-hv0cl 28058  ax-hvaddid 28059  ax-hfvmul 28060  ax-hvmulid 28061  ax-hvmulass 28062  ax-hvdistr1 28063  ax-hvdistr2 28064  ax-hvmul0 28065  ax-hfi 28134  ax-his1 28137  ax-his2 28138  ax-his3 28139  ax-his4 28140  ax-hcompl 28257
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-fal 1570  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-iin 4599  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-se 5146  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-isom 5978  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-of 6982  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-supp 7384  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-2o 7649  df-oadd 7652  df-omul 7653  df-er 7830  df-map 7944  df-pm 7945  df-ixp 7994  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-fsupp 8360  df-fi 8401  df-sup 8432  df-inf 8433  df-oi 8499  df-card 8846  df-acn 8849  df-cda 9071  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-4 11162  df-5 11163  df-6 11164  df-7 11165  df-8 11166  df-9 11167  df-n0 11374  df-z 11459  df-dec 11575  df-uz 11769  df-q 11871  df-rp 11915  df-xneg 12028  df-xadd 12029  df-xmul 12030  df-ioo 12261  df-ico 12263  df-icc 12264  df-fz 12409  df-fzo 12549  df-fl 12676  df-seq 12885  df-exp 12944  df-hash 13201  df-cj 13927  df-re 13928  df-im 13929  df-sqrt 14063  df-abs 14064  df-clim 14307  df-rlim 14308  df-sum 14505  df-struct 15950  df-ndx 15951  df-slot 15952  df-base 15954  df-sets 15955  df-ress 15956  df-plusg 16045  df-mulr 16046  df-starv 16047  df-sca 16048  df-vsca 16049  df-ip 16050  df-tset 16051  df-ple 16052  df-ds 16055  df-unif 16056  df-hom 16057  df-cco 16058  df-rest 16174  df-topn 16175  df-0g 16193  df-gsum 16194  df-topgen 16195  df-pt 16196  df-prds 16199  df-xrs 16253  df-qtop 16258  df-imas 16259  df-xps 16261  df-mre 16337  df-mrc 16338  df-acs 16340  df-mgm 17332  df-sgrp 17374  df-mnd 17385  df-submnd 17426  df-mulg 17631  df-cntz 17839  df-cmn 18284  df-psmet 19829  df-xmet 19830  df-met 19831  df-bl 19832  df-mopn 19833  df-fbas 19834  df-fg 19835  df-cnfld 19838  df-top 20790  df-topon 20807  df-topsp 20828  df-bases 20841  df-cld 20914  df-ntr 20915  df-cls 20916  df-nei 20993  df-cn 21122  df-cnp 21123  df-lm 21124  df-haus 21210  df-tx 21456  df-hmeo 21649  df-fil 21740  df-fm 21832  df-flim 21833  df-flf 21834  df-xms 22215  df-ms 22216  df-tms 22217  df-cfil 23142  df-cau 23143  df-cmet 23144  df-grpo 27545  df-gid 27546  df-ginv 27547  df-gdiv 27548  df-ablo 27597  df-vc 27612  df-nv 27645  df-va 27648  df-ba 27649  df-sm 27650  df-0v 27651  df-vs 27652  df-nmcv 27653  df-ims 27654  df-dip 27754  df-ssp 27775  df-ph 27866  df-cbn 27917  df-hnorm 28023  df-hba 28024  df-hvsub 28026  df-hlim 28027  df-hcau 28028  df-sh 28262  df-ch 28276  df-oc 28307  df-ch0 28308  df-shs 28365  df-chj 28367  df-md 29337
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator