HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl2i 29151
Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 28-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1 𝐴C
mdsl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
mdsl2i (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl2i
StepHypRef Expression
1 mdsl.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
2 mdsl.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
31, 2chub2i 28299 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
4 sstr 3603 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
53, 4mpan2 706 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
65pm4.71ri 664 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵))
76anbi2i 729 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
8 anass 680 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
97, 8bitr4i 267 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵))
109imbi1i 339 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
11 chub1 28336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C𝐴C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴))
122, 11mpan2 706 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴))
13 iba 524 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝐵)))
14 ssin 3827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
1513, 14syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
1612, 15syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝑥𝐵𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
17 chub2 28337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴))
182, 17mpan 705 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴))
19 ssrin 3830 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
2116, 20jctird 566 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))))
22 chjcl 28186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C𝐴C ) → (𝑥 𝐴) ∈ C )
232, 22mpan2 706 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 𝐴) ∈ C )
24 chincl 28328 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
251, 24mpan2 706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝐴) ∈ C → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
272, 1chincli 28289 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) ∈ C
28 chlub 28338 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
2927, 28mp3an2 1410 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C ∧ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
3026, 29mpdan 701 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
3121, 30sylibd 229 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
32 eqss 3610 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
3332rbaib 946 . . . . . . . 8 ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
3431, 33syl6 35 . . . . . . 7 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3534adantld 483 . . . . . 6 (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3635pm5.74d 262 . . . . 5 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3710, 36syl5rbbr 275 . . . 4 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
38 impexp 462 . . . 4 (((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3937, 38syl6bb 276 . . 3 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))))
4039ralbiia 2976 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
412, 1mdsl1i 29150 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
4240, 41bitr2i 265 1 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  cin 3566  wss 3567   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635   C cch 27756   chj 27760   𝑀 cmd 27793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827  ax-hvcom 27828  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvmulass 27834  ax-hvdistr1 27835  ax-hvdistr2 27836  ax-hvmul0 27837  ax-hfi 27906  ax-his1 27909  ax-his2 27910  ax-his3 27911  ax-his4 27912  ax-hcompl 28029
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-lm 21014  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cfil 23034  df-cau 23035  df-cmet 23036  df-grpo 27317  df-gid 27318  df-ginv 27319  df-gdiv 27320  df-ablo 27369  df-vc 27384  df-nv 27417  df-va 27420  df-ba 27421  df-sm 27422  df-0v 27423  df-vs 27424  df-nmcv 27425  df-ims 27426  df-dip 27526  df-ssp 27547  df-ph 27638  df-cbn 27689  df-hnorm 27795  df-hba 27796  df-hvsub 27798  df-hlim 27799  df-hcau 27800  df-sh 28034  df-ch 28048  df-oc 28079  df-ch0 28080  df-shs 28137  df-chj 28139  df-md 29109
This theorem is referenced by:  mdsl2bi  29152  mdslmd1i  29158
  Copyright terms: Public domain W3C validator