HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslj1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslj1i 28368
Description: Join preservation of the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslle1.1 𝐴C
mdslle1.2 𝐵C
mdslle1.3 𝐶C
mdslle1.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdslj1i (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mdslj1i
StepHypRef Expression
1 ssin 3796 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
21bicomi 212 . . . 4 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴𝐶𝐴𝐷))
3 mdslle1.3 . . . . . 6 𝐶C
4 mdslle1.4 . . . . . 6 𝐷C
5 mdslle1.1 . . . . . . 7 𝐴C
6 mdslle1.2 . . . . . . 7 𝐵C
75, 6chjcli 27506 . . . . . 6 (𝐴 𝐵) ∈ C
83, 4, 7chlubi 27520 . . . . 5 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
98bicomi 212 . . . 4 ((𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))
102, 9anbi12i 728 . . 3 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))
11 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
12 simpl 471 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐶)
13 simpl 471 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
145, 6, 33pm3.2i 1231 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C𝐵C𝐶C )
15 dmdsl3 28364 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐶)
1614, 15mpan 701 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐶)
1711, 12, 13, 16syl3an 1359 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐶)
183, 6chincli 27509 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵) ∈ C
194, 6chincli 27509 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐵) ∈ C
2018, 19chub1i 27518 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵))
2118, 19chjcli 27506 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∈ C
2218, 21, 5chlej1i 27522 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
2320, 22mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
2417, 23eqsstr3d 3602 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐶 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
25 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
26 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))
275, 6, 43pm3.2i 1231 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C𝐵C𝐷C )
28 dmdsl3 28364 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C𝐷C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
2927, 28mpan 701 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
3011, 25, 26, 29syl3an 1359 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
3119, 18chub2i 27519 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵))
3219, 21, 5chlej1i 27522 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
3331, 32mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
3430, 33eqsstr3d 3602 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
3524, 34jca 552 . . . . . . 7 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∧ 𝐷 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴)))
3621, 5chjcli 27506 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∈ C
373, 4, 36chlubi 27520 . . . . . . 7 ((𝐶 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∧ 𝐷 ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴)) ↔ (𝐶 𝐷) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
3835, 37sylib 206 . . . . . 6 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝐷) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴))
39 ssrin 3799 . . . . . 6 ((𝐶 𝐷) ⊆ (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
41 simpl 471 . . . . . 6 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐴 𝑀 𝐵)
42 ssrin 3799 . . . . . . . 8 (𝐴𝐶 → (𝐴𝐵) ⊆ (𝐶𝐵))
4342, 20syl6ss 3579 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
4443adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
45 inss2 3795 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵) ⊆ 𝐵
46 inss2 3795 . . . . . . . 8 (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵
4718, 19, 6chlubi 27520 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵)
4847bicomi 212 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵 ↔ ((𝐶𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵))
4945, 46, 48mpbir2an 956 . . . . . . 7 ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵)
515, 6, 213pm3.2i 1231 . . . . . . 7 (𝐴C𝐵C ∧ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∈ C )
52 mdsl3 28365 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ∧ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∈ C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∧ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵)) → ((((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
5351, 52mpan 701 . . . . . 6 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∧ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝐵) → ((((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
5441, 44, 50, 53syl3an 1359 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
5540, 54sseqtrd 3603 . . . 4 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
56553expb 1257 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
5710, 56sylan2b 490 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
583, 4, 6lediri 27586 . . 3 ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵)
5958a1i 11 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵))
6057, 59eqssd 3584 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐶 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∨ (𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cin 3538  wss 3539   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527   C cch 26976   chj 26980   𝑀 cmd 27013   𝑀* cdmd 27014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872  ax-hilex 27046  ax-hfvadd 27047  ax-hvcom 27048  ax-hvass 27049  ax-hv0cl 27050  ax-hvaddid 27051  ax-hfvmul 27052  ax-hvmulid 27053  ax-hvmulass 27054  ax-hvdistr1 27055  ax-hvdistr2 27056  ax-hvmul0 27057  ax-hfi 27126  ax-his1 27129  ax-his2 27130  ax-his3 27131  ax-his4 27132  ax-hcompl 27249
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-lm 20785  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cfil 22779  df-cau 22780  df-cmet 22781  df-grpo 26497  df-gid 26498  df-ginv 26499  df-gdiv 26500  df-ablo 26552  df-vc 26567  df-nv 26615  df-va 26618  df-ba 26619  df-sm 26620  df-0v 26621  df-vs 26622  df-nmcv 26623  df-ims 26624  df-dip 26741  df-ssp 26765  df-ph 26858  df-cbn 26909  df-hnorm 27015  df-hba 27016  df-hvsub 27018  df-hlim 27019  df-hcau 27020  df-sh 27254  df-ch 27268  df-oc 27299  df-ch0 27300  df-shs 27357  df-chj 27359  df-md 28329  df-dmd 28330
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem1  28374  mdslmd1lem2  28375
  Copyright terms: Public domain W3C validator