HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1lem1 29030
Description: Lemma for mdslmd1i 29034. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
mdslmd1lem.5 𝑅C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))

Proof of Theorem mdslmd1lem1
StepHypRef Expression
1 mdslmd1lem.5 . . . . . 6 𝑅C
2 mdslmd.4 . . . . . . 7 𝐷C
3 mdslmd.2 . . . . . . 7 𝐵C
42, 3chincli 28165 . . . . . 6 (𝐷𝐵) ∈ C
5 mdslmd.1 . . . . . 6 𝐴C
61, 4, 5chlej1i 28178 . . . . 5 (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → (𝑅 𝐴) ⊆ ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴))
7 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
8 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
9 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))
105, 3, 23pm3.2i 1237 . . . . . . . . 9 (𝐴C𝐵C𝐷C )
11 dmdsl3 29020 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C𝐷C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
1210, 11mpan 705 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
137, 8, 9, 12syl3an 1365 . . . . . . 7 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
14133expb 1263 . . . . . 6 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐷)
1514sseq2d 3612 . . . . 5 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((𝑅 𝐴) ⊆ ((𝐷𝐵) ∨ 𝐴) ↔ (𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷))
166, 15syl5ib 234 . . . 4 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → (𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷))
1716adantld 483 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → (𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷))
1817imim1d 82 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))))
19 simpll 789 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴))
20 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐶)
2120ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴𝐶)
225, 1chub2i 28175 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴)
2321, 22jctil 559 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴𝐶))
24 ssin 3813 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐶))
2523, 24sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐶))
26 inss1 3811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷𝐵) ⊆ 𝐷
27 sstr 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝑅𝐷)
2826, 27mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → 𝑅𝐷)
29 sstr 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3028, 29sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3130ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3231adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3332adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3433ad2ant2l 781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
355, 3chub1i 28174 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
3634, 35jctir 560 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)))
375, 3chjcli 28162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 𝐵) ∈ C
381, 5, 37chlubi 28176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵))
3936, 38sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵))
40 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
4239, 41jca 554 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)))
431, 5chjcli 28162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 𝐴) ∈ C
44 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐶C
4543, 44, 37chlubi 28176 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
4642, 45sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
475, 3, 43, 44mdslj1i 29024 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐶) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
4819, 25, 46, 47syl12anc 1321 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
49 simplll 797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 𝑀 𝐵)
50 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐶𝐴𝐷))
51 ssin 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
5250, 51sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
53 ssrin 3816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵))
55 inindir 3809 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
5654, 55syl6sseq 3630 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
57 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅)
5856, 57sstrd 3593 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑅)
59 inss2 3812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵
60 sstr 3591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝐵) ⊆ 𝐵) → 𝑅𝐵)
6159, 60mpan2 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ⊆ (𝐷𝐵) → 𝑅𝐵)
6261ad2antll 764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝑅𝐵)
635, 3, 13pm3.2i 1237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴C𝐵C𝑅C )
64 mdsl3 29021 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴C𝐵C𝑅C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑅𝑅𝐵)) → ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
6563, 64mpan 705 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑅𝑅𝐵) → ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
6649, 58, 62, 65syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
6766oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) = (𝑅 (𝐶𝐵)))
6848, 67eqtr2d 2656 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 (𝐶𝐵)) = (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵))
6968ineq1d 3791 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
70 inindir 3809 . . . . . . 7 ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
7169, 70syl6eqr 2673 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
7252, 22jctil 559 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷)))
73 ssin 3813 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ (𝑅 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷)) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ (𝐶𝐷)))
7472, 73sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ (𝐶𝐷)))
75 ssinss1 3819 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7675ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7776ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7839, 77jca 554 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7944, 2chincli 28165 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐷) ∈ C
8043, 79, 37chlubi 28176 . . . . . . . . 9 (((𝑅 𝐴) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
8178, 80sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
825, 3, 43, 79mdslj1i 29024 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∩ (𝐶𝐷)) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
8319, 74, 81, 82syl12anc 1321 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
8455a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
8566, 84oveq12d 6622 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)) = (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
8683, 85eqtr2d 2656 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵))
8771, 86sseq12d 3613 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
88 simpllr 798 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
89 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐷)
9089ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴𝐷)
9143, 44chub1i 28174 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 𝐴) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶)
9222, 91sstri 3592 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶)
9390, 92jctil 559 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∧ 𝐴𝐷))
94 ssin 3813 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∧ 𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷))
9593, 94sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷))
9643, 79chub1i 28174 . . . . . . . . 9 (𝑅 𝐴) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))
9722, 96sstri 3592 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))
9895, 97jctir 560 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
99 ssin 3813 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ↔ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
10098, 99sylib 208 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
101 inss2 3812 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
102 sstr 3591 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
103101, 102mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
104103ad2antll 764 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
105104ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
106105, 81jca 554 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
10743, 44chjcli 28162 . . . . . . . . 9 ((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∈ C
108107, 2chincli 28165 . . . . . . . 8 (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ C
10943, 79chjcli 28162 . . . . . . . 8 ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∈ C
110108, 109, 37chlubi 28176 . . . . . . 7 (((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
111106, 110sylib 208 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
1125, 3, 108, 109mdslle1i 29022 . . . . . 6 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ∧ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
11388, 100, 111, 112syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ↔ ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
11487, 113bitr4d 271 . . . 4 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵))) → (((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
115114exbiri 651 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
116115a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
11718, 116syld 47 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑅𝑅 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑅 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑅 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3554  wss 3555   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604   C cch 27632   chj 27636   𝑀 cmd 27669   𝑀* cdmd 27670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788  ax-hcompl 27905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-dip 27402  df-ssp 27423  df-ph 27514  df-cbn 27565  df-hnorm 27671  df-hba 27672  df-hvsub 27674  df-hlim 27675  df-hcau 27676  df-sh 27910  df-ch 27924  df-oc 27955  df-ch0 27956  df-shs 28013  df-chj 28015  df-md 28985  df-dmd 28986
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem3  29032
  Copyright terms: Public domain W3C validator