Theorem mdslmd1lem1 30096

Description: Lemma for mdslmd1i 30100. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdslmd.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdslmd.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mdslmd.4	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mdslmd1lem.5	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdslmd1lem1	⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))

Proof of Theorem mdslmd1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslmd1lem.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
2		mdslmd.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
3		mdslmd.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	chincli 29231	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
5		mdslmd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
6	1, 4, 5	chlej1i 29244	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
7		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴)
8		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
9		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
10	5, 3, 2	3pm3.2i 1335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ )
11		dmdsl3 30086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
12	10, 11	mpan 688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
13	7, 8, 9, 12	syl3an 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
14	13	3expb 1116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷)
15	14	sseq2d 3999	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
16	6, 15	syl5ib 246	. . . 4 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
17	16	adantld 493	. . 3 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷))
18	17	imim1d 82	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))))
19		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴))
20		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
22	5, 1	chub2i 29241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴)
23	21, 22	jctil 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶))
24		ssin 4207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶))
25	23, 24	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶))
26		inss1 4205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷
27		sstr 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝑅 ⊆ 𝐷)
28	26, 27	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐷)
29		sstr 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
30	28, 29	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
31	30	ancoms 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
32	31	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
33	32	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
34	33	ad2ant2l 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
35	5, 3	chub1i 29240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
36	34, 35	jctir 523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
37	5, 3	chjcli 29228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
38	1, 5, 37	chlubi 29242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
39	36, 38	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
40		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
41	40	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
42	39, 41	jca 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
43	1, 5	chjcli 29228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ
44		mdslmd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
45	43, 44, 37	chlubi 29242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
46	42, 45	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
47	5, 3, 43, 44	mdslj1i 30090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
48	19, 25, 46, 47	syl12anc 834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
49		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)
50		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷))
51		ssin 4207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))
52	50, 51	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))
53	52	ssrind 4212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
54		inindir 4204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))
55	53, 54	sseqtrdi 4017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
56		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅)
57	55, 56	sstrd 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅)
58		inss2 4206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
59		sstr 3975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
60	58, 59	mpan2 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
61	60	ad2antll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
62	5, 3, 1	3pm3.2i 1335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑅 ∈ Cℋ )
63		mdsl3 30087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑅 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
64	62, 63	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
65	49, 57, 61, 64	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅)
66	65	oveq1d 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
67	48, 66	eqtr2d 2857	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵))
68	67	ineq1d 4188	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
69		inindir 4204	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))
70	68, 69	syl6eqr 2874	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
71	52, 22	jctil 522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)))
72		ssin 4207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)))
73	71, 72	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)))
74		ssinss1 4214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
75	74	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
76	75	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
77	39, 76	jca 514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
78	44, 2	chincli 29231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐷) ∈ Cℋ
79	43, 78, 37	chlubi 29242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
80	77, 79	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
81	5, 3, 43, 78	mdslj1i 30090	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)))
82	19, 73, 80, 81	syl12anc 834	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)))
83	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))
84	65, 83	oveq12d 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))
85	82, 84	eqtr2d 2857	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵))
86	70, 85	sseq12d 4000	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)))
87		simpllr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴)
88		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
89	88	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
90	43, 44	chub1i 29240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶)
91	22, 90	sstri 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶)
92	89, 91	jctil 522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷))
93		ssin 4207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷))
94	92, 93	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷))
95	43, 78	chub1i 29240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))
96	22, 95	sstri 3976	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))
97	94, 96	jctir 523	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
98		ssin 4207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ↔ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
99	97, 98	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
100		inss2 4206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
101		sstr 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
102	100, 101	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
103	102	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
104	103	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
105	104, 80	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
106	43, 44	chjcli 29228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
107	106, 2	chincli 29231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ Cℋ
108	43, 78	chjcli 29228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∈ Cℋ
109	107, 108, 37	chlubi 29242	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
110	105, 109	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
111	5, 3, 107, 108	mdslle1i 30088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ∧ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)))
112	87, 99, 110, 111	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)))
113	86, 112	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))
114	113	exbiri 809	. . 3 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
115	114	a2d 29	. 2 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))
116	18, 115	syld 47	1 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150   C_ℋ cch 28700   ∨_ℋ chj 28704   𝑀_ℋ cmd 28737   𝑀_ℋ^* cdmd 28738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28770  ax-hfvadd 28771  ax-hvcom 28772  ax-hvass 28773  ax-hv0cl 28774  ax-hvaddid 28775  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvmulass 28778  ax-hvdistr1 28779  ax-hvdistr2 28780  ax-hvmul0 28781  ax-hfi 28850  ax-his1 28853  ax-his2 28854  ax-his3 28855  ax-his4 28856  ax-hcompl 28973

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-lm 21831  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cfil 23852  df-cau 23853  df-cmet 23854  df-grpo 28264  df-gid 28265  df-ginv 28266  df-gdiv 28267  df-ablo 28316  df-vc 28330  df-nv 28363  df-va 28366  df-ba 28367  df-sm 28368  df-0v 28369  df-vs 28370  df-nmcv 28371  df-ims 28372  df-dip 28472  df-ssp 28493  df-ph 28584  df-cbn 28634  df-hnorm 28739  df-hba 28740  df-hvsub 28742  df-hlim 28743  df-hcau 28744  df-sh 28978  df-ch 28992  df-oc 29023  df-ch0 29024  df-shs 29079  df-chj 29081  df-md 30051  df-dmd 30052

This theorem is referenced by:  mdslmd1lem3  30098