Proof of Theorem mdslmd1lem1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mdslmd1lem.5 |
. . . . . 6
⊢ 𝑅 ∈
Cℋ |
2 | | mdslmd.4 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐷 ∈
Cℋ |
3 | | mdslmd.2 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐵 ∈
Cℋ |
4 | 2, 3 | chincli 28599 |
. . . . . 6
⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ∈
Cℋ |
5 | | mdslmd.1 |
. . . . . 6
⊢ 𝐴 ∈
Cℋ |
6 | 1, 4, 5 | chlej1i 28612 |
. . . . 5
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)) |
7 | | simpr 479 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) → 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) |
8 | | simpr 479 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) → 𝐴 ⊆ 𝐷) |
9 | | simpr 479 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
10 | 5, 3, 2 | 3pm3.2i 1400 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ 𝐷 ∈
Cℋ ) |
11 | | dmdsl3 29454 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ 𝐷 ∈
Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ*
𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷) |
12 | 10, 11 | mpan 708 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵
𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷) |
13 | 7, 8, 9, 12 | syl3an 1505 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷) |
14 | 13 | 3expb 1113 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐷) |
15 | 14 | sseq2d 3762 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝐷 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷)) |
16 | 6, 15 | syl5ib 234 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷)) |
17 | 16 | adantld 484 |
. . 3
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷)) |
18 | 17 | imim1d 82 |
. 2
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))))) |
19 | | simpll 807 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴)) |
20 | | simpll 807 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶) |
21 | 20 | ad2antlr 765 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐶) |
22 | 5, 1 | chub2i 28609 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) |
23 | 21, 22 | jctil 561 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) |
24 | | ssin 3966 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶)) |
25 | 23, 24 | sylib 208 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶)) |
26 | | inss1 3964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷 |
27 | | sstr 3740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐷) → 𝑅 ⊆ 𝐷) |
28 | 26, 27 | mpan2 709 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐷) |
29 | | sstr 3740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑅 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
30 | 28, 29 | sylan 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
31 | 30 | ancoms 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
32 | 31 | adantll 752 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
33 | 32 | adantll 752 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
34 | 33 | ad2ant2l 799 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
35 | 5, 3 | chub1i 28608 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) |
36 | 34, 35 | jctir 562 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
37 | 5, 3 | chjcli 28596 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈
Cℋ |
38 | 1, 5, 37 | chlubi 28610 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
39 | 36, 38 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
40 | | simprrl 823 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
41 | 40 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
42 | 39, 41 | jca 555 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
43 | 1, 5 | chjcli 28596 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∈
Cℋ |
44 | | mdslmd.3 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐶 ∈
Cℋ |
45 | 43, 44, 37 | chlubi 28610 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
46 | 42, 45 | sylib 208 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
47 | 5, 3, 43, 44 | mdslj1i 29458 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐶) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) |
48 | 19, 25, 46, 47 | syl12anc 1461 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) |
49 | | simplll 815 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) |
50 | | simplrl 819 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷)) |
51 | | ssin 3966 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)) |
52 | 50, 51 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)) |
53 | | ssrin 3969 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) |
54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) |
55 | | inindir 3962 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) |
56 | 54, 55 | syl6sseq 3780 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) |
57 | | simprl 811 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅) |
58 | 56, 57 | sstrd 3742 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅) |
59 | | inss2 3965 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 |
60 | | sstr 3740 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ (𝐷 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵) |
61 | 59, 60 | mpan2 709 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝑅 ⊆ 𝐵) |
62 | 61 | ad2antll 767 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝑅 ⊆ 𝐵) |
63 | 5, 3, 1 | 3pm3.2i 1400 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ 𝑅 ∈
Cℋ ) |
64 | | mdsl3 29455 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ 𝑅 ∈
Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅) |
65 | 63, 64 | mpan 708 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐵) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅) |
66 | 49, 58, 62, 65 | syl3anc 1463 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝑅) |
67 | 66 | oveq1d 6816 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) |
68 | 48, 67 | eqtr2d 2783 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)) |
69 | 68 | ineq1d 3944 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) |
70 | | inindir 3962 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) |
71 | 69, 70 | syl6eqr 2800 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) = ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) |
72 | 52, 22 | jctil 561 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))) |
73 | | ssin 3966 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ⊆ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷))) |
74 | 72, 73 | sylib 208 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷))) |
75 | | ssinss1 3972 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
76 | 75 | ad2antrl 766 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
77 | 76 | ad2antlr 765 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
78 | 39, 77 | jca 555 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
79 | 44, 2 | chincli 28599 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 ∩ 𝐷) ∈
Cℋ |
80 | 43, 79, 37 | chlubi 28610 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
81 | 78, 80 | sylib 208 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
82 | 5, 3, 43, 79 | mdslj1i 29458 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))) |
83 | 19, 74, 81, 82 | syl12anc 1461 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))) |
84 | 55 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) |
85 | 66, 84 | oveq12d 6819 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐷) ∩ 𝐵)) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))) |
86 | 83, 85 | eqtr2d 2783 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) = (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵)) |
87 | 71, 86 | sseq12d 3763 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵))) |
88 | | simpllr 817 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) |
89 | | simplr 809 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷) |
90 | 89 | ad2antlr 765 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ 𝐷) |
91 | 43, 44 | chub1i 28608 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) |
92 | 22, 91 | sstri 3741 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) |
93 | 90, 92 | jctil 561 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷)) |
94 | | ssin 3966 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷)) |
95 | 93, 94 | sylib 208 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷)) |
96 | 43, 79 | chub1i 28608 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) |
97 | 22, 96 | sstri 3741 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) |
98 | 95, 97 | jctir 562 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))) |
99 | | ssin 3966 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∧ 𝐴 ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ↔ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))) |
100 | 98, 99 | sylib 208 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))) |
101 | | inss2 3965 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 |
102 | | sstr 3740 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑅
∨ℋ 𝐴)
∨ℋ 𝐶)
∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
103 | 101, 102 | mpan 708 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
104 | 103 | ad2antll 767 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
105 | 104 | ad2antlr 765 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
106 | 105, 81 | jca 555 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
107 | 43, 44 | chjcli 28596 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∈
Cℋ |
108 | 107, 2 | chincli 28599 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∈
Cℋ |
109 | 43, 79 | chjcli 28596 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∈
Cℋ |
110 | 108, 109,
37 | chlubi 28610 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝑅
∨ℋ 𝐴)
∨ℋ 𝐶)
∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
111 | 106, 110 | sylib 208 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
112 | 5, 3, 108, 109 | mdslle1i 29456 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵
𝑀ℋ* 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ∧ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ℋ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵))) |
113 | 88, 100, 111, 112 | syl3anc 1463 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ↔ ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) ∩ 𝐵))) |
114 | 87, 113 | bitr4d 271 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) ∧ (((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵))) → (((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)))) |
115 | 114 | exbiri 653 |
. . 3
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))) |
116 | 115 | a2d 29 |
. 2
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))) |
117 | 18, 116 | syld 47 |
1
⊢ (((𝐴 𝑀ℋ
𝐵 ∧ 𝐵 𝑀ℋ*
𝐴) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))) → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ((((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∩ 𝐵)) → ((𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐶 ∩ 𝐵) ∩ (𝐷 ∩ 𝐵)))))) |