HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1lem2 29046
Description: Lemma for mdslmd1i 29049. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
mdslmd1lem.5 𝑅C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))

Proof of Theorem mdslmd1lem2
StepHypRef Expression
1 ssrin 3818 . . . 4 (𝑅𝐷 → (𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵))
21adantl 482 . . 3 (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵))
32imim1i 63 . 2 (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
4 simpllr 798 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
5 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐶C
6 mdslmd1lem.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑅C
75, 6chub2i 28190 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝑅 𝐶)
8 sstr 3592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐶𝐶 ⊆ (𝑅 𝐶)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
97, 8mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
109ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
1110ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
12 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐷)
1312ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝐷)
1411, 13ssind 3817 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷))
15 ssin 3815 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
16 mdslmd.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷C
175, 16chincli 28180 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐷) ∈ C
1817, 6chub2i 28190 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷))
19 sstr 3592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2018, 19mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2115, 20sylbi 207 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2221adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2322ad2antlr 762 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2414, 23ssind 3817 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 (𝐶𝐷))))
25 inss2 3814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
26 sstr 3592 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2725, 26mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2827ad2antll 764 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2928ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
30 sstr 3592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3130ancoms 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑅𝐷) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3231ad2ant2l 781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3332adantll 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3433adantll 749 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
35 ssinss1 3821 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3635ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3736ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3834, 37jca 554 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
39 mdslmd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
40 mdslmd.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
4139, 40chjcli 28177 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝐵) ∈ C
426, 17, 41chlubi 28191 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
4338, 42sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
4429, 43jca 554 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
456, 5chjcli 28177 . . . . . . . . 9 (𝑅 𝐶) ∈ C
4645, 16chincli 28180 . . . . . . . 8 ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ C
476, 17chjcli 28177 . . . . . . . 8 (𝑅 (𝐶𝐷)) ∈ C
4846, 47, 41chlubi 28191 . . . . . . 7 ((((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
4944, 48sylib 208 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
5039, 40, 46, 47mdslle1i 29037 . . . . . 6 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 (𝐶𝐷))) ∧ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
514, 24, 49, 50syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
52 inindir 3811 . . . . . . 7 (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
53 sstr 3592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴𝑅)
5415, 53sylanb 489 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴𝑅)
5554ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝑅)
56 simplll 797 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝐶)
5755, 56ssind 3817 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅𝐶))
58 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
5933, 58jca 554 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)))
606, 5, 41chlubi 28191 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
6159, 60sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
6257, 61jca 554 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵)))
6339, 40, 6, 5mdslj1i 29039 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6462, 63sylan2 491 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6564anassrs 679 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6665ineq1d 3793 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) = (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)))
6752, 66syl5req 2668 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
6815biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
7054, 69ssind 3817 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)))
7131adantll 749 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
7235ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7371, 72jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7473, 42sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
7570, 74anim12i 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) ∧ ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7675an4s 868 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7739, 40, 6, 17mdslj1i 29039 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
7876, 77sylan2 491 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷))) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
7978anassrs 679 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
80 inindir 3811 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
8281oveq2d 6623 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
8379, 82eqtr2d 2656 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵))
8467, 83sseq12d 3615 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
8551, 84bitr4d 271 . . . 4 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
8685exbiri 651 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
8786a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
883, 87syl5 34 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3555  wss 3556   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607   C cch 27647   chj 27651   𝑀 cmd 27684   𝑀* cdmd 27685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cc 9204  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963  ax-hilex 27717  ax-hfvadd 27718  ax-hvcom 27719  ax-hvass 27720  ax-hv0cl 27721  ax-hvaddid 27722  ax-hfvmul 27723  ax-hvmulid 27724  ax-hvmulass 27725  ax-hvdistr1 27726  ax-hvdistr2 27727  ax-hvmul0 27728  ax-hfi 27797  ax-his1 27800  ax-his2 27801  ax-his3 27802  ax-his4 27803  ax-hcompl 27920
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-omul 7513  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-acn 8715  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-lm 20946  df-haus 21032  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cfil 22966  df-cau 22967  df-cmet 22968  df-grpo 27208  df-gid 27209  df-ginv 27210  df-gdiv 27211  df-ablo 27260  df-vc 27275  df-nv 27308  df-va 27311  df-ba 27312  df-sm 27313  df-0v 27314  df-vs 27315  df-nmcv 27316  df-ims 27317  df-dip 27417  df-ssp 27438  df-ph 27529  df-cbn 27580  df-hnorm 27686  df-hba 27687  df-hvsub 27689  df-hlim 27690  df-hcau 27691  df-sh 27925  df-ch 27939  df-oc 27970  df-ch0 27971  df-shs 28028  df-chj 28030  df-md 29000  df-dmd 29001
This theorem is referenced by:  mdslmd1lem4  29048
  Copyright terms: Public domain W3C validator