Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsymi 29575
 Description: M-symmetry of the Hilbert lattice. Lemma 5 of [Maeda] p. 168. (Contributed by NM, 3-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsym.1 𝐴C
mdsym.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
mdsymi (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀 𝐴)

Proof of Theorem mdsymi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdsym.2 . . . . 5 𝐵C
21choccli 28471 . . . 4 (⊥‘𝐵) ∈ C
3 mdsym.1 . . . . 5 𝐴C
43choccli 28471 . . . 4 (⊥‘𝐴) ∈ C
5 eqid 2756 . . . 4 ((⊥‘𝐵) ∨ 𝑥) = ((⊥‘𝐵) ∨ 𝑥)
62, 4, 5mdsymlem8 29574 . . 3 (((⊥‘𝐵) ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → ((⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀* (⊥‘𝐴)))
7 mddmd 29465 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵)))
83, 1, 7mp2an 710 . . 3 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀* (⊥‘𝐵))
9 mddmd 29465 . . . 4 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵 𝑀 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀* (⊥‘𝐴)))
101, 3, 9mp2an 710 . . 3 (𝐵 𝑀 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀* (⊥‘𝐴))
116, 8, 103bitr4g 303 . 2 (((⊥‘𝐵) ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀 𝐴))
123chssii 28393 . . . 4 𝐴 ⊆ ℋ
13 fveq2 6348 . . . . 5 ((⊥‘𝐵) = 0 → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = (⊥‘0))
141pjococi 28601 . . . . 5 (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵
15 choc0 28490 . . . . 5 (⊥‘0) = ℋ
1613, 14, 153eqtr3g 2813 . . . 4 ((⊥‘𝐵) = 0𝐵 = ℋ)
1712, 16syl5sseqr 3791 . . 3 ((⊥‘𝐵) = 0𝐴𝐵)
18 ssmd1 29475 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C𝐴𝐵) → 𝐴 𝑀 𝐵)
193, 1, 18mp3an12 1559 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 𝑀 𝐵)
20 ssmd2 29476 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C𝐴𝐵) → 𝐵 𝑀 𝐴)
213, 1, 20mp3an12 1559 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 𝑀 𝐴)
2219, 21jca 555 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀 𝐴))
23 pm5.1 938 . . 3 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀 𝐴) → (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀 𝐴))
2417, 22, 233syl 18 . 2 ((⊥‘𝐵) = 0 → (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀 𝐴))
251chssii 28393 . . . 4 𝐵 ⊆ ℋ
26 fveq2 6348 . . . . 5 ((⊥‘𝐴) = 0 → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘0))
273pjococi 28601 . . . . 5 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
2826, 27, 153eqtr3g 2813 . . . 4 ((⊥‘𝐴) = 0𝐴 = ℋ)
2925, 28syl5sseqr 3791 . . 3 ((⊥‘𝐴) = 0𝐵𝐴)
30 ssmd2 29476 . . . . 5 ((𝐵C𝐴C𝐵𝐴) → 𝐴 𝑀 𝐵)
311, 3, 30mp3an12 1559 . . . 4 (𝐵𝐴𝐴 𝑀 𝐵)
32 ssmd1 29475 . . . . 5 ((𝐵C𝐴C𝐵𝐴) → 𝐵 𝑀 𝐴)
331, 3, 32mp3an12 1559 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 𝑀 𝐴)
3431, 33jca 555 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀 𝐴))
3529, 34, 233syl 18 . 2 ((⊥‘𝐴) = 0 → (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀 𝐴))
3611, 24, 35pm2.61iine 3018 1 (𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3711   class class class wbr 4800  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809   ℋchil 28081   Cℋ cch 28091  ⊥cort 28092   ∨ℋ chj 28095  0ℋc0h 28097   𝑀ℋ cmd 28128   𝑀ℋ* cdmd 28129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cc 9445  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204  ax-hilex 28161  ax-hfvadd 28162  ax-hvcom 28163  ax-hvass 28164  ax-hv0cl 28165  ax-hvaddid 28166  ax-hfvmul 28167  ax-hvmulid 28168  ax-hvmulass 28169  ax-hvdistr1 28170  ax-hvdistr2 28171  ax-hvmul0 28172  ax-hfi 28241  ax-his1 28244  ax-his2 28245  ax-his3 28246  ax-his4 28247  ax-hcompl 28364 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-omul 7730  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-acn 8954  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cld 21021  df-ntr 21022  df-cls 21023  df-nei 21100  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-lm 21231  df-haus 21317  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cfil 23249  df-cau 23250  df-cmet 23251  df-grpo 27652  df-gid 27653  df-ginv 27654  df-gdiv 27655  df-ablo 27704  df-vc 27719  df-nv 27752  df-va 27755  df-ba 27756  df-sm 27757  df-0v 27758  df-vs 27759  df-nmcv 27760  df-ims 27761  df-dip 27861  df-ssp 27882  df-ph 27973  df-cbn 28024  df-hnorm 28130  df-hba 28131  df-hvsub 28133  df-hlim 28134  df-hcau 28135  df-sh 28369  df-ch 28383  df-oc 28414  df-ch0 28415  df-shs 28472  df-span 28473  df-chj 28474  df-chsup 28475  df-pjh 28559  df-cv 29443  df-md 29444  df-dmd 29445  df-at 29502 This theorem is referenced by:  mdsym  29576
 Copyright terms: Public domain W3C validator