Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjiun 39977
Description: The measure of the disjoint union of a countable set is the extended sum of the measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjiun.1 𝑘𝜑
meadjiun.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjiun.s 𝑆 = dom 𝑀
meadjiun.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
meadjiun.a (𝜑𝐴 ≼ ω)
meadjiun.dj (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
meadjiun (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem meadjiun
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meadjiun.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 meadjiun.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
32ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑆))
41, 3ralrimi 2956 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
5 dfiun3g 5342 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆 𝑘𝐴 𝐵 = ran (𝑘𝐴𝐵))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 = ran (𝑘𝐴𝐵))
76fveq2d 6154 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (𝑀 ran (𝑘𝐴𝐵)))
8 meadjiun.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
9 meadjiun.s . . 3 𝑆 = dom 𝑀
10 eqid 2626 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1110rnmptss 6348 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆 → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
124, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
13 meadjiun.a . . . 4 (𝜑𝐴 ≼ ω)
14 1stcrestlem 21160 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → ran (𝑘𝐴𝐵) ≼ ω)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐵) ≼ ω)
16 meadjiun.dj . . . 4 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
1710disjrnmpt2 38835 . . . 4 (Disj 𝑘𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝑥)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝑥)
198, 9, 12, 15, 18meadjuni 39968 . 2 (𝜑 → (𝑀 ran (𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))))
20 reldom 7906 . . . . . 6 Rel ≼
21 brrelex 5121 . . . . . 6 ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
2220, 21mpan 705 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2313, 22syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
241, 2, 10fmptdf 6343 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
25 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖))
2625neeq1d 2855 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) ≠ ∅ ↔ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ≠ ∅))
2726cbvrabv 3190 . . . 4 {𝑗𝐴 ∣ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) ≠ ∅} = {𝑖𝐴 ∣ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ≠ ∅}
28 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖𝐴)
29 nfv 1845 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑖𝐴
301, 29nfan 1830 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑖𝐴)
31 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑖
3231nfcsb1 3534 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
33 nfcv 2767 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑆
3432, 33nfel 2779 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵𝑆
3530, 34nfim 1827 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
36 eleq1 2692 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝐴𝑖𝐴))
3736anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑖𝐴)))
38 csbeq1a 3528 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
3938eleq1d 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑆𝑖 / 𝑘𝐵𝑆))
4037, 39imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆) ↔ ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)))
4135, 40, 2chvar 2266 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
4231, 32, 38, 10fvmptf 6258 . . . . . . . 8 ((𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵𝑆) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑘𝐵)
4328, 41, 42syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑘𝐵)
4443disjeq2dv 4593 . . . . . 6 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵))
45 nfcv 2767 . . . . . . . . 9 𝑖𝐵
4645, 32, 38cbvdisj 4598 . . . . . . . 8 (Disj 𝑘𝐴 𝐵Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵)
4746bicomi 214 . . . . . . 7 (Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵Disj 𝑘𝐴 𝐵)
4847a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵Disj 𝑘𝐴 𝐵))
4944, 48bitrd 268 . . . . 5 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑘𝐴 𝐵))
5016, 49mpbird 247 . . . 4 (𝜑Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖))
518, 9, 23, 24, 27, 50meadjiunlem 39976 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵))))
5245, 32, 38cbvmpt 4714 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)
5352coeq2i 5247 . . . . . 6 (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵))
5453a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)))
55 eqidd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵) = (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵))
568, 9meaf 39964 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5756feqmptd 6207 . . . . . 6 (𝜑𝑀 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)))
58 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑖 / 𝑘𝐵 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
5941, 55, 57, 58fmptco 6352 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)))
60 nfcv 2767 . . . . . . . 8 𝑖(𝑀𝐵)
61 nfcv 2767 . . . . . . . . 9 𝑘𝑀
6261, 32nffv 6157 . . . . . . . 8 𝑘(𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)
6338fveq2d 6154 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑀𝐵) = (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
6460, 62, 63cbvmpt 4714 . . . . . . 7 (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)) = (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
6564eqcomi 2635 . . . . . 6 (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)))
6754, 59, 663eqtrd 2664 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)))
6867fveq2d 6154 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
6951, 68eqtrd 2660 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
707, 19, 693eqtrd 2664 1 (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3191  csb 3519  wss 3560  c0 3896   cuni 4407   ciun 4490  Disj wdisj 4588   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  ccom 5083  Rel wrel 5084  cfv 5850  (class class class)co 6605  ωcom 7013  cdom 7898  0cc0 9881  +∞cpnf 10016  [,]cicc 12117  Σ^csumge0 39873  Meascmea 39960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-sumge0 39874  df-mea 39961
This theorem is referenced by:  meaiunlelem  39979  meaiuninclem  39991  vonct  40201
  Copyright terms: Public domain W3C validator