Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjun 40012
Description: The measure of the union of two disjoint sets is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjun.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjun.x 𝑆 = dom 𝑀
meadjun.a (𝜑𝐴𝑆)
meadjun.b (𝜑𝐵𝑆)
meadjun.dj (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
Assertion
Ref Expression
meadjun (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meadjun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12206 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 meadjun.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
3 meadjun.x . . . . . . . . 9 𝑆 = dom 𝑀
42, 3meaf 40003 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5 meadjun.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑆)
64, 5ffvelrnd 6321 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sseldi 3585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
8 xaddid2 12024 . . . . . 6 ((𝑀𝐵) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀𝐵)) = (𝑀𝐵))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 +𝑒 (𝑀𝐵)) = (𝑀𝐵))
109eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
12 uneq1 3743 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
13 0un 38733 . . . . . . 7 (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵)
1512, 14eqtrd 2655 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = 𝐵)
1615fveq2d 6157 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀𝐵))
1716adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀𝐵))
18 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
202mea0 40004 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
2219, 21eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐴) = 0)
2322oveq1d 6625 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
2411, 17, 233eqtr4d 2665 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
25 simpl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
26 meadjun.dj . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
2726ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) = ∅)
28 inidm 3805 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐴) = 𝐴
2928eqcomi 2630 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝐴𝐴)
30 ineq2 3791 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴) = (𝐴𝐵))
3129, 30syl5req 2668 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = 𝐴)
3231adantl 482 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) = 𝐴)
33 neqne 2798 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
3532, 34eqnetrd 2857 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) ≠ ∅)
3635neneqd 2795 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴𝐵) = ∅)
3736adantll 749 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴𝐵) = ∅)
3827, 37pm2.65da 599 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3938neqned 2797 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝐵)
40 meadjun.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
41 uniprg 4421 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
4240, 5, 41syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
4342eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵})
4443fveq2d 6157 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀 {𝐴, 𝐵}))
4544adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀 {𝐴, 𝐵}))
4640, 5prssd 4327 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
47 prfi 8187 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
48 isfinite 8501 . . . . . . . . . 10 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
4948biimpi 206 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
50 sdomdom 7935 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
5247, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ≼ ω
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
54 disjxsn 4611 . . . . . . . . . 10 Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥)
56 preq1 4243 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
57 dfsn2 4166 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
5857eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . 12 {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
6056, 59eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
6160disjeq1d 4596 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥))
6255, 61mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
6362adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
64 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
65 neqne 2798 . . . . . . . . 9 𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
6665adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
6726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) = ∅)
6840adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
695adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
70 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
71 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
72 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
7371, 72disjprg 4613 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
7468, 69, 70, 73syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
7567, 74mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
7664, 66, 75syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
7763, 76pm2.61dan 831 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
782, 3, 46, 53, 77meadjuni 40007 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
7978adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀 {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
804, 40ffvelrnd 6321 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8180adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
826adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
83 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐴))
84 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐵))
8568, 69, 81, 82, 83, 84, 70sge0pr 39944 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
864, 46fssresd 6033 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
8786feqmptd 6211 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)))
88 fvres 6169 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥) = (𝑀𝑥))
8988mpteq2ia 4705 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥)))
9187, 90eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥)))
9291fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))))
9392adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))))
94 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9585, 93, 943eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9645, 79, 953eqtrd 2659 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9725, 39, 96syl2anc 692 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9824, 97pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cun 3557  cin 3558  c0 3896  {csn 4153  {cpr 4155   cuni 4407  Disj wdisj 4588   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  cres 5081  cfv 5852  (class class class)co 6610  ωcom 7019  cdom 7905  csdm 7906  Fincfn 7907  0cc0 9888  +∞cpnf 10023  *cxr 10025   +𝑒 cxad 11896  [,]cicc 12128  Σ^csumge0 39912  Meascmea 39999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-xadd 11899  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-sumge0 39913  df-mea 40000
This theorem is referenced by:  meassle  40013  meaunle  40014  meadjunre  40026
  Copyright terms: Public domain W3C validator