Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjun 42621
Description: The measure of the union of two disjoint sets is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjun.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjun.x 𝑆 = dom 𝑀
meadjun.a (𝜑𝐴𝑆)
meadjun.b (𝜑𝐵𝑆)
meadjun.dj (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
Assertion
Ref Expression
meadjun (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meadjun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12807 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 meadjun.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
3 meadjun.x . . . . . . . . 9 𝑆 = dom 𝑀
42, 3meaf 42612 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5 meadjun.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑆)
64, 5ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sseldi 3962 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
8 xaddid2 12623 . . . . . 6 ((𝑀𝐵) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀𝐵)) = (𝑀𝐵))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 +𝑒 (𝑀𝐵)) = (𝑀𝐵))
109eqcomd 2824 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
12 uneq1 4129 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
13 0un 4343 . . . . . . 7 (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵)
1512, 14eqtrd 2853 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = 𝐵)
1615fveq2d 6667 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀𝐵))
1716adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀𝐵))
18 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
202mea0 42613 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
2219, 21eqtrd 2853 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐴) = 0)
2322oveq1d 7160 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
2411, 17, 233eqtr4d 2863 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
25 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
26 meadjun.dj . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
2726ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) = ∅)
28 inidm 4192 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐴) = 𝐴
2928eqcomi 2827 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝐴𝐴)
30 ineq2 4180 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴) = (𝐴𝐵))
3129, 30syl5req 2866 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = 𝐴)
3231adantl 482 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) = 𝐴)
33 neqne 3021 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
3532, 34eqnetrd 3080 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) ≠ ∅)
3635neneqd 3018 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴𝐵) = ∅)
3736adantll 710 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴𝐵) = ∅)
3827, 37pm2.65da 813 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3938neqned 3020 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝐵)
40 meadjun.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
41 uniprg 4844 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
4240, 5, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
4342eqcomd 2824 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵})
4443fveq2d 6667 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀 {𝐴, 𝐵}))
4544adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀 {𝐴, 𝐵}))
4640, 5prssd 4747 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
47 prfi 8781 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
48 isfinite 9103 . . . . . . . . . 10 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
4948biimpi 217 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
50 sdomdom 8525 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
5247, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ≼ ω
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
54 disjxsn 5050 . . . . . . . . . 10 Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥)
56 preq1 4661 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
57 dfsn2 4570 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
5857eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . 12 {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
6056, 59eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
6160disjeq1d 5030 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥))
6255, 61mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
6362adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
64 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
65 neqne 3021 . . . . . . . . 9 𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
6665adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
6726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) = ∅)
6840adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
695adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
70 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
71 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
72 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
7371, 72disjprg 5053 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
7468, 69, 70, 73syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
7567, 74mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
7664, 66, 75syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
7763, 76pm2.61dan 809 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
782, 3, 46, 53, 77meadjuni 42616 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
7978adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀 {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
804, 40ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8180adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
826adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
83 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐴))
84 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐵))
8568, 69, 81, 82, 83, 84, 70sge0pr 42553 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
864, 46fssresd 6538 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
8786feqmptd 6726 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)))
88 fvres 6682 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥) = (𝑀𝑥))
8988mpteq2ia 5148 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥)))
9187, 90eqtrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥)))
9291fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))))
9392adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))))
94 eqidd 2819 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9585, 93, 943eqtr4d 2863 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9645, 79, 953eqtrd 2857 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9725, 39, 96syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9824, 97pm2.61dan 809 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cun 3931  cin 3932  c0 4288  {csn 4557  {cpr 4559   cuni 4830  Disj wdisj 5022   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  cdom 8495  csdm 8496  Fincfn 8497  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   +𝑒 cxad 12493  [,]cicc 12729  Σ^csumge0 42521  Meascmea 42608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-sumge0 42522  df-mea 42609
This theorem is referenced by:  meassle  42622  meaunle  42623  meadjunre  42635
  Copyright terms: Public domain W3C validator