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Theorem meaiininclem 41224
Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a non-increasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiininclem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiininclem.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiininclem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiininclem.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininclem.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
meaiininclem.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
meaiininclem.r (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
meaiininclem.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
meaiininclem.g 𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
meaiininclem.f 𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)
Assertion
Ref Expression
meaiininclem (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem meaiininclem
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiininclem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
2 uzss 11920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
4 meaiininclem.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑁)
53, 4syl6sseqr 3793 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
65adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
7 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝐾))
86, 7sseldd 3745 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑛𝑍)
9 meaiininclem.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
11 meaiininclem.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
12 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom 𝑀 = dom 𝑀
1311, 12dmmeasal 41190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1413adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → dom 𝑀 ∈ SAlg)
151, 4syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾𝑍)
16 meaiininclem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
1716ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
1815, 17mpdan 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
1918adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
2016ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
21 saldifcl2 41067 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ dom 𝑀)
2214, 19, 20, 21syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ dom 𝑀)
2322elexd 3354 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ V)
2410, 23fvmpt2d 6456 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
258, 24syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
2625fveq2d 6357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
2711adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑀 ∈ Meas)
2818adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
29 meaiininclem.r . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
3029adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
318, 20syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
32 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝜑)
3332, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
34 elfzouz 12688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ𝐾))
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝐾))
3633, 35sseldd 3745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝑚𝑍)
37 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝑍𝑚𝑍))
3837anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑚𝑍)))
39 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
4039fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑚 + 1)))
41 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑚))
4240, 41sseq12d 3775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛) ↔ (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚)))
4338, 42imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛)) ↔ ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))))
44 meaiininclem.i . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
4543, 44chvarv 2408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
4632, 36, 45syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
4746adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
487, 47ssdec 39782 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
4927, 28, 30, 31, 48meadif 41217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛))))
5026, 49eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛))))
5150oveq2d 6830 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛))) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
5229recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℂ)
5352adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℂ)
5427, 28, 30, 48, 31meassre 41215 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
5554recnd 10280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℂ)
5653, 55nncand 10609 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛)))) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
5751, 56eqtr2d 2795 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛))))
5857mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛)))))
59 nfv 1992 . . . . 5 𝑛𝜑
60 eqid 2760 . . . . 5 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
611eluzelzd 40107 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
62 difssd 3881 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ (𝐸𝐾))
6324, 62eqsstrd 3780 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
648, 63syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
6522, 9fmptd 6549 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑍⟶dom 𝑀)
6665ffvelrnda 6523 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
678, 66syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
6827, 28, 30, 64, 67meassre 41215 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ∈ ℝ)
6968recnd 10280 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
70 meaiininclem.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7144sscond 3890 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
7241difeq2d 3871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
7372cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
749, 73eqtri 2782 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐺 = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚))))
76 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝐸𝑚) = (𝐸‘(𝑛 + 1)))
7776difeq2d 3871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
7877adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 = (𝑛 + 1)) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
794peano2uzs 11955 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
8079adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
81 fvex 6363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ∈ V
8281difexi 4961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V)
8475, 78, 80, 83fvmptd 6451 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺‘(𝑛 + 1)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
8524, 84sseq12d 3775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐺𝑛) ⊆ (𝐺‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1)))))
8671, 85mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐺‘(𝑛 + 1)))
8711adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
8887, 12, 66, 19, 63meassle 41201 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝐾)))
89 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛)))
9011, 70, 4, 65, 86, 29, 88, 89meaiuninc2 41220 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)))
91 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛)))
924, 89, 15, 91climresmpt 40412 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛))))
9390, 92mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)))
94 meaiininclem.f . . . . . . . . 9 𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)
9594eqcomi 2769 . . . . . . . 8 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) = 𝐹
9695fveq2i 6356 . . . . . . 7 (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) = (𝑀𝐹)
9796a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) = (𝑀𝐹))
9893, 97breqtrd 4830 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀𝐹))
9959, 60, 61, 52, 69, 98climsubc1mpt 40415 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛)))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
10058, 99eqbrtrd 4826 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
101 eqid 2760 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
102 eqid 2760 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
1034, 101, 15, 102climresmpt 40412 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹))))
104100, 103mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
105 meaiininclem.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
106105a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))))
107 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))))
1084uzct 39749 . . . . . . . . . 10 𝑍 ≼ ω
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ≼ ω)
11013, 109, 66saliuncl 41063 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
11194, 110syl5eqel 2843 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom 𝑀)
112 saldifcl2 41067 . . . . . . . 8 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀𝐹 ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∈ dom 𝑀)
11313, 18, 111, 112syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∈ dom 𝑀)
114 disjdif 4184 . . . . . . . 8 (𝐹 ∩ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = ∅
115114a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∩ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = ∅)
11663iunssd 39788 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
11794, 116syl5eqss 3790 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐸𝐾))
11811, 18, 29, 117, 111meassre 41215 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐹) ∈ ℝ)
119 difssd 3881 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ⊆ (𝐸𝐾))
12011, 18, 29, 119, 113meassre 41215 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ)
12111, 12, 111, 113, 115, 118, 120meadjunre 41214 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))))
122 undif 4193 . . . . . . . 8 (𝐹 ⊆ (𝐸𝐾) ↔ (𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝐸𝐾))
123117, 122sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝐸𝐾))
124123fveq2d 6357 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾)))
125107, 121, 1243eqtr3d 2802 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾)))
126118recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐹) ∈ ℂ)
127120recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∈ ℂ)
12852, 126, 127subaddd 10622 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ↔ ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾))))
129125, 128mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)))
130 simpllr 817 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
131 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍)
132 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
133132ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
134 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
135133, 134eldifd 3726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
136 rspe 3141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
137131, 135, 136syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
138 eliun 4676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
139137, 138sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
140139adantlll 756 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
14194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛))
14224iuneq2dv 4694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
143141, 142eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
144143eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = 𝐹)
145144ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = 𝐹)
146140, 145eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥𝐹)
147 elndif 3877 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
149130, 148condan 870 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
150149ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) → ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
151 vex 3343 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
152 eliin 4677 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)))
153151, 152ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
154150, 153sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
155154ssd 39769 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
156 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾))
158 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐾 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐾))
159158sseq1d 3773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾) ↔ (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)))
160159rspcev 3449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑍 ∧ (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)) → ∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
16115, 157, 160syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
162 iinss 4723 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
164163adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
165 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
166164, 165sseldd 3745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
167 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑥
168 nfii1 4703 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
169167, 168nfel 2915 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
170 iinss2 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
171170adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
172 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
173171, 172sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
174 elndif 3877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
176175ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → (𝑛𝑍 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
177169, 176ralrimi 3095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ∀𝑛𝑍 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
178 ralnex 3130 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑍 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ↔ ¬ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
179177, 178sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ¬ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
180179, 138sylnibr 318 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ¬ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
181180adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
182143adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝐹 = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
183181, 182neleqtrrd 2861 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥𝐹)
184166, 183eldifd 3726 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
185184ssd 39769 . . . . . 6 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
186155, 185eqssd 3761 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
187186fveq2d 6357 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
188129, 187eqtr2d 2795 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
189106, 188breq12d 4817 . 2 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹))))
190104, 189mpbird 247 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058   ciun 4672   ciin 4673   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  ωcom 7231  cdom 8121  cc 10146  cr 10147  1c1 10149   + caddc 10151  cmin 10478  cz 11589  cuz 11899  ..^cfzo 12679  cli 14434  SAlgcsalg 41049  Meascmea 41187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-xadd 12160  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-salg 41050  df-sumge0 41101  df-mea 41188
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