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Theorem meaiininclem 42645
Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a nonincreasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiininclem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiininclem.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiininclem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiininclem.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininclem.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
meaiininclem.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
meaiininclem.r (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
meaiininclem.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
meaiininclem.g 𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
meaiininclem.f 𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)
Assertion
Ref Expression
meaiininclem (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem meaiininclem
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiininclem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
2 uzss 12253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
4 meaiininclem.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑁)
53, 4sseqtrrdi 4015 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
65adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
7 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝐾))
86, 7sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑛𝑍)
9 meaiininclem.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
11 meaiininclem.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
12 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom 𝑀 = dom 𝑀
1311, 12dmmeasal 42611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → dom 𝑀 ∈ SAlg)
151, 4eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾𝑍)
16 meaiininclem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
1716ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
1815, 17mpdan 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
2016ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
21 saldifcl2 42488 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ dom 𝑀)
2214, 19, 20, 21syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ dom 𝑀)
2322elexd 3512 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ V)
2410, 23fvmpt2d 6773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
258, 24syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
2625fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
2711adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑀 ∈ Meas)
2818adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
29 meaiininclem.r . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
318, 20syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
32 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝜑)
3332, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
34 elfzouz 13030 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ𝐾))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝐾))
3633, 35sseldd 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝑚𝑍)
37 eleq1w 2892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝑍𝑚𝑍))
3837anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑚𝑍)))
39 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑚 + 1)))
40 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑚))
4139, 40sseq12d 3997 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛) ↔ (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚)))
4238, 41imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛)) ↔ ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))))
43 meaiininclem.i . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
4442, 43chvarvv 1996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
4532, 36, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
4645adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
477, 46ssdec 41231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
4827, 28, 30, 31, 47meadif 42638 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛))))
4926, 48eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛))))
5049oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛))) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
5129recnd 10657 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℂ)
5251adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℂ)
5327, 28, 30, 47, 31meassre 42636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
5453recnd 10657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℂ)
5552, 54nncand 10990 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛)))) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
5650, 55eqtr2d 2854 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛))))
5756mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛)))))
58 nfv 1906 . . . . 5 𝑛𝜑
59 eqid 2818 . . . . 5 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
601eluzelzd 41519 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
61 difssd 4106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ (𝐸𝐾))
6224, 61eqsstrd 4002 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
638, 62syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
6422, 9fmptd 6870 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑍⟶dom 𝑀)
6564ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
668, 65syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
6727, 28, 30, 63, 66meassre 42636 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ∈ ℝ)
6867recnd 10657 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
69 meaiininclem.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7043sscond 4115 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
7140difeq2d 4096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
7271cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
739, 72eqtri 2841 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
74 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝐸𝑚) = (𝐸‘(𝑛 + 1)))
7574difeq2d 4096 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
764peano2uzs 12290 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
7776adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
78 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ∈ V
7978difexi 5223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V)
8173, 75, 77, 80fvmptd3 6783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺‘(𝑛 + 1)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
8224, 81sseq12d 3997 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐺𝑛) ⊆ (𝐺‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1)))))
8370, 82mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐺‘(𝑛 + 1)))
8411adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
8584, 12, 65, 19, 62meassle 42622 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝐾)))
86 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛)))
8711, 69, 4, 64, 83, 29, 85, 86meaiuninc2 42641 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)))
88 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛)))
894, 86, 15, 88climresmpt 41816 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛))))
9087, 89mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)))
91 meaiininclem.f . . . . . . . . 9 𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)
9291eqcomi 2827 . . . . . . . 8 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) = 𝐹
9392fveq2i 6666 . . . . . . 7 (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) = (𝑀𝐹)
9493a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) = (𝑀𝐹))
9590, 94breqtrd 5083 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀𝐹))
9658, 59, 60, 51, 68, 95climsubc1mpt 41819 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛)))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
9757, 96eqbrtrd 5079 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
98 eqid 2818 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
99 eqid 2818 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
1004, 98, 15, 99climresmpt 41816 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹))))
10197, 100mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
102 meaiininclem.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
103102a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))))
104 eqidd 2819 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))))
1054uzct 41202 . . . . . . . . . 10 𝑍 ≼ ω
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ≼ ω)
10713, 106, 65saliuncl 42484 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
10891, 107eqeltrid 2914 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom 𝑀)
109 saldifcl2 42488 . . . . . . . 8 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀𝐹 ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∈ dom 𝑀)
11013, 18, 108, 109syl3anc 1363 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∈ dom 𝑀)
111 disjdif 4417 . . . . . . . 8 (𝐹 ∩ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = ∅
112111a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∩ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = ∅)
11362iunssd 4965 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
11491, 113eqsstrid 4012 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐸𝐾))
11511, 18, 29, 114, 108meassre 42636 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐹) ∈ ℝ)
116 difssd 4106 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ⊆ (𝐸𝐾))
11711, 18, 29, 116, 110meassre 42636 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ)
11811, 12, 108, 110, 112, 115, 117meadjunre 42635 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))))
119 undif 4426 . . . . . . . 8 (𝐹 ⊆ (𝐸𝐾) ↔ (𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝐸𝐾))
120114, 119sylib 219 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝐸𝐾))
121120fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾)))
122104, 118, 1213eqtr3d 2861 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾)))
123115recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐹) ∈ ℂ)
124117recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∈ ℂ)
12551, 123, 124subaddd 11003 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ↔ ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾))))
126122, 125mpbird 258 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)))
127 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
128 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍)
129 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
130129ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
131 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
132130, 131eldifd 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
133 rspe 3301 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
134128, 132, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
135 eliun 4914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
136134, 135sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
137136adantlll 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
13891a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛))
13924iuneq2dv 4934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
140138, 139eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
141140eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = 𝐹)
142141ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = 𝐹)
143137, 142eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥𝐹)
144 elndif 4102 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
146127, 145condan 814 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
147146ralrimiva 3179 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) → ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
148 vex 3495 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
149 eliin 4915 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)))
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
151147, 150sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
152151ssd 41221 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
153 ssid 3986 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)
154153a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾))
155 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐾))
156155sseq1d 3995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾) ↔ (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)))
157156rspcev 3620 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑍 ∧ (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)) → ∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
15815, 154, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
159 iinss 4971 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
160158, 159syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
161160adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
162 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
163161, 162sseldd 3965 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
164 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑥
165 nfii1 4945 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
166164, 165nfel 2989 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
167 iinss2 4972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
168167adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
169 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
170168, 169sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
171 elndif 4102 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
173172ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → (𝑛𝑍 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
174166, 173ralrimi 3213 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ∀𝑛𝑍 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
175 ralnex 3233 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛𝑍 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ↔ ¬ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
176174, 175sylib 219 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ¬ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
177176, 135sylnibr 330 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ¬ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
178177adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
179140adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝐹 = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
180178, 179neleqtrrd 2932 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥𝐹)
181163, 180eldifd 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
182152, 181eqelssd 3985 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
183182fveq2d 6667 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
184126, 183eqtr2d 2854 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
185103, 184breq12d 5070 . 2 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹))))
186101, 185mpbird 258 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288   ciun 4910   ciin 4911   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  cdom 8495  cc 10523  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  ..^cfzo 13021  cli 14829  SAlgcsalg 42470  Meascmea 42608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-salg 42471  df-sumge0 42522  df-mea 42609
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