Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measdivcst 30416
Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
measdivcst ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀𝑓/𝑐 /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem measdivcst
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofcfval3 30292 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀𝑓/𝑐 /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
2 measfrge0 30394 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
3 fdm 6089 . . . . . 6 (𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) → dom 𝑀 = 𝑆)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → dom 𝑀 = 𝑆)
54adantr 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → dom 𝑀 = 𝑆)
65mpteq1d 4771 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
71, 6eqtrd 2685 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀𝑓/𝑐 /𝑒 𝐴) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
8 measvxrge0 30396 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ∈ (0[,]+∞))
98adantlr 751 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ∈ (0[,]+∞))
10 simplr 807 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
119, 10xrpxdivcld 29771 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
12 eqid 2651 . . . 4 (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))
1311, 12fmptd 6425 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞))
14 measbase 30388 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
15 0elsiga 30305 . . . . . . 7 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ 𝑆)
18 ovex 6718 . . . . 5 ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V
19 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀‘∅))
2019oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
2120, 12fvmptg 6319 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
2217, 18, 21sylancl 695 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
23 measvnul 30397 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
2423oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
25 xdiv0rp 29766 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐴) = 0)
2624, 25sylan9eq 2705 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = 0)
2722, 26eqtrd 2685 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0)
28 simpll 805 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
29 simplr 807 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
30 simprl 809 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
31 simprr 811 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
32 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑦 ∈ V)
34 simplll 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
35 selpw 4198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑆)
36 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑆𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
3735, 36sylanb 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
3837adantll 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
39 measvxrge0 30396 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑀𝑧) ∈ (0[,]+∞))
4034, 38, 39syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑀𝑧) ∈ (0[,]+∞))
41 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4233, 40, 41esumdivc 30273 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
43423ad2antr1 1246 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
4414ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
45 simpr1 1087 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
46 simpr2 1088 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
47 sigaclcu 30308 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) → 𝑦𝑆)
4844, 45, 46, 47syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦𝑆)
49 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀 𝑦))
5049oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
51 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
5250, 12, 51fvmpt3i 6326 . . . . . . . . 9 ( 𝑦𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
5348, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
54 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
55 simpr3 1089 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
56 measvun 30400 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 𝑦) = Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧))
5754, 45, 46, 55, 56syl112anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 𝑦) = Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧))
5857oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
5953, 58eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
60 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑧))
6160oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6261, 12, 51fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6337, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6463esumeq2dv 30228 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6545, 64syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6643, 59, 653eqtr4d 2695 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
6728, 29, 30, 31, 66syl13anc 1368 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
6867ex 449 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
6968ralrimiva 2995 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
70 ismeas 30390 . . . . . 6 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
7114, 70syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
7271biimprd 238 . . . 4 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
7372adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
7413, 27, 69, 73mp3and 1467 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))
757, 74eqeltrd 2730 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀𝑓/𝑐 /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cuni 4468  Disj wdisj 4652   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  cdom 7995  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  +crp 11870  [,]cicc 12216   /𝑒 cxdiv 29753  Σ*cesum 30217  𝑓/𝑐cofc 30285  sigAlgebracsiga 30298  measurescmeas 30386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tsms 21977  df-xdiv 29754  df-esum 30218  df-ofc 30286  df-siga 30299  df-meas 30387
This theorem is referenced by:  probfinmeasb  30619
  Copyright terms: Public domain W3C validator