Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meassle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meassle 39160
Description: The measure of a set is larger or equal to the measure of a subset, Property 112C (b) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meassle.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meassle.x 𝑆 = dom 𝑀
meassle.a (𝜑𝐴𝑆)
meassle.b (𝜑𝐵𝑆)
meassle.ss (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
meassle (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem meassle
StepHypRef Expression
1 meassle.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meassle.x . . . 4 𝑆 = dom 𝑀
3 meassle.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
41, 2, 3meaxrcl 39158 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
51, 2dmmeasal 39149 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 meassle.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑆)
7 saldifcl2 39026 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
85, 6, 3, 7syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
91, 2, 8meacl 39155 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
104, 9xadd0ge 38281 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
11 meassle.ss . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
12 undif 4000 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1312biimpi 204 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1411, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1514fveq2d 6092 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (𝑀𝐵))
1615eqcomd 2615 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))))
17 disjdif 3991 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
191, 2, 3, 8, 18meadjun 39159 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
2016, 19eqtr2d 2644 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))) = (𝑀𝐵))
2110, 20breqtrd 4603 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  cle 9931   +𝑒 cxad 11776  SAlgcsalg 39008  Meascmea 39146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-xadd 11779  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-salg 39009  df-sumge0 39060  df-mea 39147
This theorem is referenced by:  meaunle  39161  meaiunlelem  39165  meassre  39174  meaiuninclem  39177  meaiininclem  39180  vonioolem2  39376
  Copyright terms: Public domain W3C validator