Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measun 30047
Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measun ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem measun
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 30033 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
323ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑆 ran sigAlgebra)
4 simp2l 1085 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴𝑆)
5 simp2r 1086 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵𝑆)
6 unelsiga 29970 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1323 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
8 ssun2 3760 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
98a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵))
10 measxun2 30046 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))))
111, 7, 5, 9, 10syl121anc 1328 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))))
12 difun2 4025 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐴𝐵)
13 inundif 4023 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
14 uneq1 3743 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = (∅ ∪ (𝐴𝐵)))
15 uncom 3740 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ ∅)
16 un0 3944 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∪ ∅) = (𝐴𝐵)
1715, 16eqtri 2648 . . . . . . . 8 (∅ ∪ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵)
1814, 17syl6eq 2676 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
1913, 18syl5reqr 2675 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝐴𝐵) = 𝐴)
2012, 19syl5eq 2672 . . . . 5 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = 𝐴)
2120fveq2d 6154 . . . 4 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝑀𝐴))
2221oveq2d 6621 . . 3 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)))
23223ad2ant3 1082 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)))
24 iccssxr 12195 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25 measvxrge0 30041 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2624, 25sseldi 3586 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
271, 5, 26syl2anc 692 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
28 measvxrge0 30041 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2924, 28sseldi 3586 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
301, 4, 29syl2anc 692 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 12013 . . 3 (((𝑀𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
3227, 30, 31syl2anc 692 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
3311, 23, 323eqtrd 2664 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  cdif 3557  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3896   cuni 4407  ran crn 5080  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  +∞cpnf 10016  *cxr 10018   +𝑒 cxad 11888  [,]cicc 12117  sigAlgebracsiga 29943  measurescmeas 30031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-ac2 9230  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-ac 8884  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720  df-cos 14721  df-pi 14723  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-ordt 16077  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-ps 17116  df-tsr 17117  df-plusf 17157  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-subrg 18694  df-abv 18733  df-lmod 18781  df-scaf 18782  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-tmd 21781  df-tgp 21782  df-tsms 21835  df-trg 21868  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-nm 22292  df-ngp 22293  df-nrg 22295  df-nlm 22296  df-ii 22583  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532  df-log 24202  df-esum 29863  df-siga 29944  df-meas 30032
This theorem is referenced by:  measvuni  30050  measunl  30052
  Copyright terms: Public domain W3C validator