Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvuni 30076
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 rabid 3109 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}))
32simprbi 480 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 ∈ {∅})
43adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ {∅})
54ralrimiva 2961 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
653ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
7 ssrab2 3671 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴
8 ssct 7992 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
97, 8mpan 705 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
109adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
11103ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
12 simp3r 1088 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
13 nfrab1 3114 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}
14 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥𝐴
1513, 14disjss1f 29249 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵))
167, 12, 15mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)
1713measvunilem0 30075 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅} ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1327 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
19 rabid 3109 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
2019simprbi 480 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2221ralrimiva 2961 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
23223ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
24 ssrab2 3671 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴
25 ssct 7992 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2624, 25mpan 705 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
28273ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
29 nfrab1 3114 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}
3029, 14disjss1f 29249 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
3124, 12, 30mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
3229measvunilem 30074 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1327 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
3418, 33oveq12d 6628 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
35 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
36 nfra1 2936 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑆
37 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ≼ ω
38 nfdisj1 4601 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
3937, 38nfan 1825 . . . . . . 7 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4035, 36, 39nf3an 1828 . . . . . 6 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
4113, 29nfun 3752 . . . . . 6 𝑥({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})
42 simp2 1060 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
43 rabid2 3110 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆} ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
4442, 43sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
45 elun 3736 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
46 measbase 30059 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
47 0elsiga 29976 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
48 snssi 4313 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {∅} ⊆ 𝑆)
50 undif 4026 . . . . . . . . . . . . 13 ({∅} ⊆ 𝑆 ↔ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5149, 50sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5251eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5345, 52syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5453rabbidv 3180 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
55543ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
5644, 55eqtr4d 2658 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))})
57 unrab 3879 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
5856, 57syl6eqr 2673 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}))
59 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐵 = 𝐵)
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 4515 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵)
6160fveq2d 6157 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵))
62 iunxun 4576 . . . . 5 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵 = ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
6362fveq2i 6156 . . . 4 (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
6461, 63syl6eq 2671 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
65463ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
6647adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → ∅ ∈ 𝑆)
67 elsni 4170 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
6867eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ {∅} → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
6968adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
7066, 69mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → 𝐵𝑆)
7146, 3, 70syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
7271ralrimiva 2961 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
73723ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7413sigaclcuni 29980 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7565, 73, 11, 74syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7621eldifad 3571 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
7776ralrimiva 2961 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
78773ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
7929sigaclcuni 29980 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
8065, 78, 28, 79syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
813, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 = ∅)
8281iuneq2i 4510 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅
83 iun0 4547 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅ = ∅
8482, 83eqtri 2643 . . . . 5 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅
85 ineq1 3790 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
86 0in 3946 . . . . . 6 (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅
8785, 86syl6eq 2671 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
8884, 87mp1i 13 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
89 measun 30073 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
901, 75, 80, 88, 89syl121anc 1328 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9164, 90eqtrd 2655 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9240, 58esumeq1d 29896 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵))
93 ctex 7921 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
9411, 93syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
95 ctex 7921 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
9628, 95syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
97 inrab 3880 . . . . . 6 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
98 noel 3900 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝐵 ∈ ∅
99 disjdif 4017 . . . . . . . . . . 11 ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) = ∅
10099eleq2i 2690 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ ∅)
10198, 100mtbir 313 . . . . . . . . 9 ¬ 𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅}))
102 elin 3779 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
103101, 102mtbi 312 . . . . . . . 8 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
104103rgenw 2919 . . . . . . 7 𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
105 rabeq0 3936 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
106104, 105mpbir 221 . . . . . 6 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅
10797, 106eqtri 2643 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅
108107a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅)
1091adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
1101, 71sylan 488 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
111 measvxrge0 30067 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
112109, 110, 111syl2anc 692 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1131adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11420adantl 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
115114eldifad 3571 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
116113, 115, 111syl2anc 692 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
11740, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116esumsplit 29914 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11892, 117eqtrd 2655 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11934, 91, 1183eqtr4d 2665 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3189  cdif 3556  cun 3557  cin 3558  wss 3559  c0 3896  {csn 4153   cuni 4407   ciun 4490  Disj wdisj 4588   class class class wbr 4618  ran crn 5080  cfv 5852  (class class class)co 6610  ωcom 7019  cdom 7904  0cc0 9887  +∞cpnf 10022   +𝑒 cxad 11895  [,]cicc 12127  Σ*cesum 29888  sigAlgebracsiga 29969  measurescmeas 30057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-ac2 9236  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-acn 8719  df-ac 8890  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-sin 14732  df-cos 14733  df-pi 14735  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-ordt 16089  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-ps 17128  df-tsr 17129  df-plusf 17169  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-subrg 18706  df-abv 18745  df-lmod 18793  df-scaf 18794  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-tmd 21795  df-tgp 21796  df-tsms 21849  df-trg 21882  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-nm 22306  df-ngp 22307  df-nrg 22309  df-nlm 22310  df-ii 22599  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550  df-log 24220  df-esum 29889  df-siga 29970  df-meas 30058
This theorem is referenced by:  measiuns  30079  measinblem  30082  sibfof  30201  dstrvprob  30332
  Copyright terms: Public domain W3C validator