Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem 30403
 Description: Lemma for measvuni 30405. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 simp3l 1109 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
3 measvunilem.1 . . . . . . 7 𝑥𝐴
43abrexctf 29624 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
6 ctex 8012 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
8 simp2 1082 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9 eldifi 3765 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝐵𝑆)
109ralimi 2981 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
11 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑥𝑆
1211abrexss 29476 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
148, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
15 elpwg 4199 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆))
1615biimpar 501 . . . 4 (({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
177, 14, 16syl2anc 694 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
18 simp3r 1110 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
193disjabrexf 29522 . . . 4 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
21 measvun 30400 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)) → (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1370 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
23 dfiun2g 4584 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
2423fveq2d 6233 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}))
258, 24syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}))
26 nfcv 2793 . . 3 𝑥(𝑀𝑧)
27 nfv 1883 . . . 4 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
28 nfra1 2970 . . . 4 𝑥𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})
29 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥
30 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥ω
313, 29, 30nfbr 4732 . . . . 5 𝑥 𝐴 ≼ ω
32 nfdisj1 4665 . . . . 5 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
3331, 32nfan 1868 . . . 4 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
3427, 28, 33nf3an 1871 . . 3 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
35 fveq2 6229 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → (𝑀𝑧) = (𝑀𝐵))
36 ctex 8012 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
372, 36syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
388r19.21bi 2961 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
3934, 3, 38, 18disjdsct 29608 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Fun (𝑥𝐴𝐵))
40 simpl1 1084 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
41 measvxrge0 30396 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
429, 41sylan2 490 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
4340, 38, 42syl2anc 694 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
4426, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38esumc 30241 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
4522, 25, 443eqtr4d 2695 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ∪ cuni 4468  ∪ ciun 4552  Disj wdisj 4652   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107   ≼ cdom 7995  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  [,]cicc 12216  Σ*cesum 30217  measurescmeas 30386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tsms 21977  df-esum 30218  df-meas 30387 This theorem is referenced by:  measvuni  30405
 Copyright terms: Public domain W3C validator