Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem 31370
Description: Lemma for measvuni 31372. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 simp3l 1193 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
3 measvunilem.1 . . . . . . 7 𝑥𝐴
43abrexctf 30380 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
6 ctex 8512 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
8 simp2 1129 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9 eldifi 4100 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝐵𝑆)
109ralimi 3157 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
11 nfcv 2974 . . . . . . 7 𝑥𝑆
1211abrexss 30199 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
148, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
15 elpwg 4541 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆))
1615biimpar 478 . . . 4 (({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
177, 14, 16syl2anc 584 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
18 simp3r 1194 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
193disjabrexf 30261 . . . 4 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
21 measvun 31367 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)) → (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1366 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
23 dfiun2g 4946 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
2423fveq2d 6667 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}))
258, 24syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}))
26 nfcv 2974 . . 3 𝑥(𝑀𝑧)
27 nfv 1906 . . . 4 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
28 nfra1 3216 . . . 4 𝑥𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})
29 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑥
30 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑥ω
313, 29, 30nfbr 5104 . . . . 5 𝑥 𝐴 ≼ ω
32 nfdisj1 5036 . . . . 5 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
3331, 32nfan 1891 . . . 4 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
3427, 28, 33nf3an 1893 . . 3 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
35 fveq2 6663 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → (𝑀𝑧) = (𝑀𝐵))
36 ctex 8512 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
372, 36syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
388r19.21bi 3205 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
3934, 3, 38, 18disjdsct 30364 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Fun (𝑥𝐴𝐵))
40 simpl1 1183 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
41 measvxrge0 31363 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
429, 41sylan2 592 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
4340, 38, 42syl2anc 584 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
4426, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38esumc 31209 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
4522, 25, 443eqtr4d 2863 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wnfc 2958  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830   ciun 4910  Disj wdisj 5022   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  cdom 8495  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  [,]cicc 12729  Σ*cesum 31185  measurescmeas 31353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-ordt 16762  df-xrs 16763  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-ntr 21556  df-nei 21634  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-tsms 22662  df-esum 31186  df-meas 31354
This theorem is referenced by:  measvuni  31372
  Copyright terms: Public domain W3C validator