Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem 29405
Description: Lemma for measvuni 29407. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1053 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 simp3l 1081 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
3 measvunilem.1 . . . . . . 7 𝑥𝐴
43abrexctf 28687 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
6 ctex 7830 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
8 simp2 1054 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9 eldifi 3690 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝐵𝑆)
109ralimi 2932 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
11 nfcv 2747 . . . . . . 7 𝑥𝑆
1211abrexss 28537 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
148, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
15 elpwg 4112 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆))
1615biimpar 500 . . . 4 (({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
177, 14, 16syl2anc 690 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
18 simp3r 1082 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
193disjabrexf 28581 . . . 4 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
21 measvun 29402 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)) → (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1321 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
23 dfiun2g 4479 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
2423fveq2d 6089 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}))
258, 24syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}))
26 nfcv 2747 . . 3 𝑥(𝑀𝑧)
27 nfv 1829 . . . 4 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
28 nfra1 2921 . . . 4 𝑥𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})
29 nfcv 2747 . . . . . 6 𝑥
30 nfcv 2747 . . . . . 6 𝑥ω
313, 29, 30nfbr 4620 . . . . 5 𝑥 𝐴 ≼ ω
32 nfdisj1 4557 . . . . 5 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
3331, 32nfan 1815 . . . 4 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
3427, 28, 33nf3an 1818 . . 3 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
35 fveq2 6085 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → (𝑀𝑧) = (𝑀𝐵))
36 ctex 7830 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
372, 36syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
388r19.21bi 2912 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
3934, 3, 38, 18disjdsct 28666 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Fun (𝑥𝐴𝐵))
40 simpl1 1056 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
41 measvxrge0 29398 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
429, 41sylan2 489 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
4340, 38, 42syl2anc 690 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
4426, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38esumc 29243 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
4522, 25, 443eqtr4d 2650 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2592  wnfc 2734  wral 2892  wrex 2893  Vcvv 3169  cdif 3533  wss 3536  c0 3870  𝒫 cpw 4104  {csn 4121   cuni 4363   ciun 4446  Disj wdisj 4544   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  ωcom 6931  cdom 7813  0cc0 9789  +∞cpnf 9924  [,]cicc 12002  Σ*cesum 29219  measurescmeas 29388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-ac2 9142  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-disj 4545  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-oi 8272  df-card 8622  df-acn 8625  df-ac 8796  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-xadd 11776  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-hash 12932  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-ordt 15927  df-xrs 15928  df-ps 16966  df-tsr 16967  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-ntr 20573  df-nei 20651  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-tsms 21679  df-esum 29220  df-meas 29389
This theorem is referenced by:  measvuni  29407
  Copyright terms: Public domain W3C validator