Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendvscafval 37227
Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendvscafval.v · = ( ·𝑠𝑀)
mendvscafval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendvscafval.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
mendvscafval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
mendvscafval.e 𝐸 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
mendvscafval ( ·𝑠𝐴) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mendvscafval
StepHypRef Expression
1 mendvscafval.a . . 3 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
21fveq2i 6153 . 2 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀))
3 mendvscafval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
41mendbas 37221 . . . . . . 7 (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
53, 4eqtr4i 2651 . . . . . 6 𝐵 = (𝑀 LMHom 𝑀)
6 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦))
7 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))
8 mendvscafval.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
9 mendvscafval.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
10 eqid 2626 . . . . . . 7 𝐵 = 𝐵
11 mendvscafval.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Base‘𝑀)
1211xpeq1i 5100 . . . . . . . 8 (𝐸 × {𝑥}) = ((Base‘𝑀) × {𝑥})
13 eqid 2626 . . . . . . . 8 𝑦 = 𝑦
14 mendvscafval.v . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑀)
15 ofeq 6853 . . . . . . . . 9 ( · = ( ·𝑠𝑀) → ∘𝑓 · = ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑓 · = ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)
1712, 13, 16oveq123i 6619 . . . . . . 7 ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦) = (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦)
189, 10, 17mpt2eq123i 6672 . . . . . 6 (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦))
195, 6, 7, 8, 18mendval 37220 . . . . 5 (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦))⟩}))
2019fveq2d 6154 . . . 4 (𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦))⟩})))
21 fvex 6160 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) ∈ V
229, 21eqeltri 2700 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
23 fvex 6160 . . . . . . 7 (Base‘𝐴) ∈ V
243, 23eqeltri 2700 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2522, 24mpt2ex 7193 . . . . 5 (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)) ∈ V
26 eqid 2626 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦))⟩})
2726algvsca 37219 . . . . 5 ((𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)) ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦))⟩})))
2825, 27mp1i 13 . . . 4 (𝑀 ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦))⟩})))
2920, 28eqtr4d 2663 . . 3 (𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)))
30 fvprc 6144 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
3130fveq2d 6154 . . . . 5 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ( ·𝑠 ‘∅))
32 df-vsca 15874 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot 6
3332str0 15827 . . . . 5 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
3431, 33syl6eqr 2678 . . . 4 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = ∅)
35 fvprc 6144 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V → (Scalar‘𝑀) = ∅)
368, 35syl5eq 2672 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ V → 𝑆 = ∅)
3736fveq2d 6154 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
38 base0 15828 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
3937, 9, 383eqtr4g 2685 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → 𝐾 = ∅)
40 mpt2eq12 6669 . . . . . 6 ((𝐾 = ∅ ∧ 𝐵 = 𝐵) → (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)))
4139, 10, 40sylancl 693 . . . . 5 𝑀 ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)))
42 mpt20 6679 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)) = ∅
4341, 42syl6eq 2676 . . . 4 𝑀 ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)) = ∅)
4434, 43eqtr4d 2663 . . 3 𝑀 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦)))
4529, 44pm2.61i 176 . 2 ( ·𝑠 ‘(MEndo‘𝑀)) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦))
462, 45eqtri 2648 1 ( ·𝑠𝐴) = (𝑥𝐾, 𝑦𝐵 ↦ ((𝐸 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  cun 3558  c0 3896  {csn 4153  {cpr 4155  {ctp 4157  cop 4159   × cxp 5077  ccom 5083  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  𝑓 cof 6849  6c6 11019  ndxcnx 15773  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  .rcmulr 15858  Scalarcsca 15860   ·𝑠 cvsca 15861   LMHom clmhm 18933  MEndocmend 37212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-lmhm 18936  df-mend 37213
This theorem is referenced by:  mendvsca  37228
  Copyright terms: Public domain W3C validator