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Theorem merco1lem11 1799
Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 1785. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
merco1lem11 ((𝜑𝜓) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → 𝜓))

Proof of Theorem merco1lem11
StepHypRef Expression
1 merco1lem5 1792 . . . . . 6 ((((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥))
2 merco1lem3 1790 . . . . . 6 (((((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥)) → (((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
4 merco1lem4 1791 . . . . 5 ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
6 merco1lem5 1792 . . . 4 (((((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
8 merco1lem4 1791 . . 3 (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑𝜏) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
97, 8ax-mp 5 . 2 ((𝜑𝜏) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
10 merco1 1785 . . 3 (((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → ((𝜑𝜓) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → 𝜓)))
11 merco1lem2 1789 . . 3 ((((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → ((𝜑𝜓) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → 𝜓))) → (((𝜑𝜏) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑𝜓) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → 𝜓))))
1210, 11ax-mp 5 . 2 (((𝜑𝜏) → ((((𝜓𝜑) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → ((𝜑𝜓) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → 𝜓)))
139, 12ax-mp 5 1 ((𝜑𝜓) → (((𝜒 → (𝜑𝜏)) → ⊥) → 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wfal 1635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-tru 1633  df-fal 1636
This theorem is referenced by:  merco1lem12  1800  merco1lem16  1804  merco1lem17  1805
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