MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  merco1lem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem merco1lem17 1698
Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 1678. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
merco1lem17 (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜏) → ((𝜑𝜒) → 𝜏))

Proof of Theorem merco1lem17
StepHypRef Expression
1 merco1lem11 1692 . . . . . 6 ((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑))
2 merco1lem7 1687 . . . . . . . 8 ((((((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ⊥)) → 𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑))
3 merco1 1678 . . . . . . . 8 (((((((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → 𝜑) → (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ⊥)) → 𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑)) → (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑))))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)))
5 merco1lem9 1690 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑))) → (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜑) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)) → ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑))
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 ((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑)
8 merco1 1678 . . . . 5 (((((𝜒𝜑) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → ⊥)) → ⊥) → 𝜑) → ((𝜑𝜒) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒)))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 ((𝜑𝜒) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒))
10 merco1lem11 1692 . . . . . 6 (((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒)))
11 merco1lem7 1687 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → 𝜑) → ((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → ⊥)) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)))
12 merco1 1678 . . . . . . . 8 ((((((((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → 𝜑) → ((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → ⊥)) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒))) → ((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → ((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒)))))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → ((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))))
14 merco1lem9 1690 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → ((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒)))) → ((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ((((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (𝜑𝜒)) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))) → (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒)))
1610, 15ax-mp 5 . . . . 5 (((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒))
17 merco1 1678 . . . . 5 ((((((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜑) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → ⊥)) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (((𝜑𝜒) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒)) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒))))
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 (((𝜑𝜒) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒)) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒)))
199, 18ax-mp 5 . . 3 ((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒))
20 merco1lem4 1684 . . 3 ((((𝜏𝜑) → ((𝜑𝜒) → ⊥)) → 𝜒) → (((𝜑𝜒) → ⊥) → 𝜒))
21 merco1lem16 1697 . . 3 (((((𝜑𝜒) → ⊥) → (𝜑𝜒)) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒)) → ((((𝜑𝜒) → ⊥) → 𝜒) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒)))
2219, 20, 21mpsyl 68 . 2 ((((𝜏𝜑) → ((𝜑𝜒) → ⊥)) → 𝜒) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒))
23 merco1 1678 . 2 (((((𝜏𝜑) → ((𝜑𝜒) → ⊥)) → 𝜒) → (((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒)) → (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜏) → ((𝜑𝜒) → 𝜏)))
2422, 23ax-mp 5 1 (((((𝜑𝜓) → 𝜑) → 𝜒) → 𝜏) → ((𝜑𝜒) → 𝜏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wfal 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-tru 1526  df-fal 1529
This theorem is referenced by:  merco1lem18  1699
  Copyright terms: Public domain W3C validator