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Theorem merco1lem18 1699
Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 1678. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
merco1lem18 ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))

Proof of Theorem merco1lem18
StepHypRef Expression
1 merco1 1678 . . . 4 ((((((𝜓𝜒) → 𝜓) → ((𝜓𝜑) → ⊥)) → ((𝜓𝜒) → 𝜓)) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))))
2 merco1lem17 1698 . . . 4 (((((((𝜓𝜒) → 𝜓) → ((𝜓𝜑) → ⊥)) → ((𝜓𝜒) → 𝜓)) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((((𝜓𝜒) → 𝜓) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))))
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((((𝜓𝜒) → 𝜓) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))))
4 merco1lem17 1698 . . 3 (((((𝜓𝜒) → 𝜓) → 𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))))
53, 4ax-mp 5 . 2 ((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))))
6 merco1lem5 1685 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥) → ⊥) → (((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥))
7 merco1lem3 1683 . . . . . . 7 (((((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥) → ⊥) → (((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥)) → (((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
9 merco1lem5 1685 . . . . . 6 ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → (((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
11 merco1lem4 1684 . . . . 5 ((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → (((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)))
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 (((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥))
13 merco1 1678 . . . . 5 (((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → (𝜓𝜑)) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))))))
14 merco1lem2 1682 . . . . 5 ((((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → (𝜓𝜑)) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))))) → ((((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))))))
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 ((((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)) → ((((((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))) → ⊥) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ⊥)) → ⊥) → ⊥)) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))))))
1612, 15ax-mp 5 . . 3 (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))))
17 merco1lem9 1690 . . 3 ((((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))))) → (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))))
1816, 17ax-mp 5 . 2 (((𝜓𝜑) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))) → ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒))))
195, 18ax-mp 5 1 ((𝜑 → (𝜓𝜒)) → ((𝜓𝜑) → (𝜓𝜒)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wfal 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-tru 1526  df-fal 1529
This theorem is referenced by:  retbwax1  1700
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